4. Frage zu Induktionsschritt?

Frage zu Induktionsschritt?

  • ?

    Hallo,

    ich brauche Hilfe bei folgender Induktion:

    ∑k=0n−1(n+k)(n−k)=n(n+1)(4n−1)6\sum_{k=0}^{n-1} (n+k)(n-k) = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}

    und beim Induktionsschritt habe ich folgendes:

    ∑k=0n(n+1+k)(n+1−k)=∑k=0n−1(n+1+k)(n+1−k)+(2n+1)=∑k=0n−1((n+k)(n−k)+(2n+1))+(2n+1)\sum_{k=0}^{n} (n+1+k)(n+1-k)=\sum_{k=0}^{n-1} (n+1+k)(n+1-k)+(2n+1) =\sum_{k=0}^{n-1} ((n+k)(n-k)+(2n+1))+(2n+1)

    so und jetzt will ich wissen wie ich auf diese 2n+1 komme? Ich hoffe es kann mir jemand erklären!

    mfg

    0
  • Mod

    Da wird ja das letzte Glied der Summe ausgeklammert. Also das mit k=n. Und Wenn man in dem Term über den summiert wird k=n setzt, kommt gerade 2n+1 heraus. Verstanden?

    edit: Oh, du meinst wahrscheinlich die 2n+1 im zweiten Schritt 🙂 . Die bekommt man durch ausklammern und anschließendes Zusammenfassen mit binomischen Formeln.

    edit2: und hier nochmal mit Latex:

    $\sum_{k=0}^{n} (n+1+k)(n+1-k)\\=\sum_{k=0}^{n-1} (n+1+k)(n+1-k)+\left[(n+1+k)(n+1-k)\right]_{k=n}\\=\sum_{k=0}^{n-1} (n+1+k)(n+1-k)+(n+1+n)(n+1-n)\\=\sum_{k=0}^{n-1} (n+1+k)(n+1-k)+(2n+1) \\=\sum_{k=0}^{n-1} (n^2+n-nk+n+1-k+kn+k-k^2)+(2n+1) \\=\sum_{k=0}^{n-1} (n^2-k^2+2n+1)+(2n+1) \\=\sum_{k=0}^{n-1} ((n+k)(n-k)+(2n+1))+(2n+1)$
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  • ?

    Ja die meinte ich! Danke das du die einzelnen Schritte aufgeschrieben hast 👍 👍 !

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