Beweis Kongruenzklassen

Jester

Genau, Du willst nämlich nicht r1=r2 zeigen sondern r1 ≡ r2 (mod b) -- die Kongruenzklassen sollen ja gleich sein, nicht die Zahlen selbst.

ups, das ist richtig, nur wirft mich das leider um lichtjahre zurück, ich hab jetzt nicht mal mehr ne ahnung wie ich anfangen sollte...

kleiner oder großer tipp?

oder reicht etwa schon folgendes:

a * r1 + b * s1 = 1
a * r2 + b * s2 = 1

->

a * r1 = 1 mod b ( wie geht das schöne kongruent zeichen?)
a * r2 = 1 mod b

ich hoffe ich kann die regel

a = b mod n ->
a * c = b * c mod n

auch umkehren, dann folgte daraus in meinem fall:

r1 = r2 mod b

aber ich weiß nicht ob diese Regel umkehrbar ist

auch wenn ich sage

(a * r1) * 1/r1 =
a * c

--- r1 ist ja normalerweise keine ganze zahl, aber die regeln sind nur auf Z definiert worden...

shisha schrieb:

( wie geht das schöne kongruent zeichen?)

≡

ja is ja schön und gut aber nochmal zurück zum thema:

ich kenne die regel

a ≡ b mod n ->
a * c ≡ b * c mod n

leider mit der einschränkung c aus Z

kann ich das irgendwie anwenden und sagen

a * r1 + b * s1 = 1
a * r2 + b * s2 = 1 // mod n

a * r1 ≡ a * r2 mod b ->
r1 ≡ r2 mod b

also einfach die regel ind die andere richtung angewandt

Ben04

Fass Z_n\{0} mit der Multiplikation einfach mal als kommutative Halbgruppe auf und zeige es für alle kommutativen Halbgruppe.

Es seinen b und c zwei beliebige Inverse von a und 0 das neutrale Element. D.h.

a+b = 0
a+c = 0

So das muss du nun irgendwie zusammenbauen, dass da

b = c

steht. Damit hast du gezeigt, dass alle Inversen paarweise gleich sind. D.h. es gibt höchstens ein Inverses.

(Achtung: Im Allgemeinen ist diese keine Gruppe.)

sicherlich eine gute antwort, nur befürchte ich dass ich länger brauche um halbgruppen anzuschaun als es anders zu lösen

Jester

Nicht wirklich, nimm mal an, b hätte zwei Inverse, nämlich a und c.
Und nun rechne mal a+b+c auf zwei Arten aus.

ja ziemlich klar aber bei der multiplikation?

ich rede über klasse b welches die inversen a und c hätte

a*b*c = (a*b) * c ist ungleich a*(b*c) wenn a ungleich c

das ist doch kein beweis? oder reicht es zu sagen dass das kommunikativgesetz gilt und somit das ergebnis das selbe sein muss?

Ben04

Wenn man über (Halb-)Gruppen redet dann gibt es nur eine Verknüpfung und die schreibt man multiplikativ (mit wenn sie nicht nicht kommutativ ist und additiv (mit +) sonst. Die Multiplikation der Zahlen ist kommutativ also wird sie additiv geschrieben, wenn man sie als Halbgruppe betrachtet.

Du weißt:
a+b = 0
a+c = 0
x+0 = x für alle x

Du willst zeigen:
b=c

Die Beweisstruktur:
b = ... = a+b+c = ... = c

Glaub mir: Der Ansatz mit den Linear Kombinationen ist viel zu kompliziert.

shisha schrieb:

a*b*c = (a*b) * c ist ungleich a*(b*c) wenn a ungleich c

3 * 4 * 5 = 60
12 * 5 = 60
3 * (20) = 60

hmmmmmmmmmmmmmmm

@hmmsager

du musst ja bedenken dass ich das was ich einklammer immer 1 setze...

also

(a*b) *c = 1*c
a * (b*c) = a *1

a ungleich c war annahme -> abc ungleich abc

Ben04

Das ist ein Widerspruch. Es folgt, dass a=c.

Einfacher ohne Widerspruch: a = a*1 = a*(b*c) = (a*b)*c = 1*c = c

Mehr ist da nicht zu machen.