Induktion

Hallo Forum,

folgende Aufgabe:
Für alle reellen x >= -1 gilt (1+x)^n >= 1 + n*x
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion. (Über n steht nichts in Aufgabenstellung)

Ich habe mir das so gedacht:
Induktions Anfang: Ich zeige es für n=0

Induktion für n+1:
(1+x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x
(1+x)^n + x(1+x)^n >= 1 + n*x + 1*x
Nun verwende ich die Induktionsvoraussetzung und ziehe sie auf beiden Seiten ab. Dadurch bleibt die Ungleichung erhalten.
x*(1+x)^n >= x
x*(1+x)^n - x >= 0
x*((1+x)^n - 1) >= 0
Nun setze ich die Induktionsvoraussetzung ein.
x*((1 + n*x) - 1) >= 0
x*n*x >=0
x² muß positiv sein, n auch, also gilt die Behauptung.

Kann ich das so machen? Ist das korrekte Induktion?

Vielen Dank

Luigi

Von oben nach unten gelesen folgerst du via Implikation ( => ). Das ist formal nicht ganz korrekt; denn falls oben etwas falsches steht, kann unten trotzdem etwas richtiges stehen (aus einer falschen Aussage kann man alles folgern). Du willst aber zeigen, dass deine Ausgangsaussage richtig ist. Entweder, du fängst bei einer offensichtlich richtigen Aussage an und folgerst daraus dein Ergebnis, oder du machst eine Ungleichungskette, etwa so:

(1+x)^(n+1) = (1+x) * (1+x)^n >= .... = .... >= .... = 1 + (n+1)*x

Du hast Recht, ich schreibe es um.