4. Laplace-Rücktransformation

Laplace-Rücktransformation

  • V

    Hallo,

    ich möchte eine Differentialgleichung mit Anfangswertproblem via Laplace-Transformation lösen. Die Transformation in den Bildraum ist kein Problem aber die Rücktransformation macht mir Probleme.

    Hier die Aufgabe mit Transformation und der Rücktransformation soweit mir das möglich war:
    http://mathbin.net/37681
    (L(...) steht für Laplace-Transformation und L^-1 für Laplace-Rücktransformation)

    Mich interessiert, wie man
    1/(s³ + 6s² + 12s + 😎
    und
    1/(s^4 + 4s³ + 5s² + 4s + 4)
    rücktransformiert.

    Diese beiden Brüche stammen von den Störtermen e^(-2x) und sin x. Wäre es hier möglich, erst einmal die homogene DGL zu lösen mittels Lalpace, in dem man die Störterme zu Null setzt und dann die partikuläre Lösung ohne Laplace aufsucht?

    OK, aber zurück zum Problem: Ich dachte da an Partialbruchzerlegung. Die Nullstellen von s³ + 6s² + 12s + 8 sind s = -2 (dreifache Nullstelle). Aber wenn ich dann damit die Partialbrüche aufstelle und dann den gemeinsamen Hauptnenner bilde, komme ich auch nicht weiter. Da kommt nach kürzen folgende Gleichung heraus:
    1 = A1(s + 2)² + A2(s + 2) + A3
    Ein Koeffizientenvergleich geht hier schlecht, um an die Parameter A1, A2 und A3 zu gelangen 🙂
    Ich frage mich sowieso, ob die Nullstellen stimmen, schließlich ist s eine komplexe Variable.

    Bitte helft mir bei der Rücktransformation der zwei Brüche 🙂

    Ciao
    Olli

    0
  • B

    1/(s³ + 6s² + 12s + 😎 = 1/(s+2)^3

    Da ist keine Partialbruchzerlegung notwendig, aber wenn du sie einfach mal nach Schema F gemacht hättest, wäre
    1/(s^3 + s^2 + 12s + 😎 = A1/(s+2)^3 + A2/(s+2)^2 + A3/(s+2)

    <=> 1 = A1 + A2(s+2) + A3(s+2)^2

    <=>
    1 = A1 + 2A2 + 4A3
    0 = A2 + 4A3
    0 = A3

    also dasselbe rausgekommen.

    Wenn du dann in das Integral zur Rücktransformation einsetzt, kannst du dann nicht s+2 einfach substituieren? Laplace-Trafo hab ich leider schon ein paar Jahre nicht mehr gemacht, ich erinnere mich nicht an Details.

    0
  • V

    Vielen Dank für die schnelle Antwort!
    1/(s³ + 6s² + 12s + 😎 = 1/(s+2)^3 <- das ist Gold wert, denn für 1/(s+2)^3 gibt es eine bekannte Rücktransformation nämlich 1/2 x² * e^(-2x).

    Das hier hat mir gefehlt:
    <=>
    1 = A1 + 2A2 + 4A3
    0 = A2 + 4A3
    0 = A3
    <=>
    A3 = 0, A2 = 0, A1 = 1
    <=>
    A1/(s+2)^3 = 1/(s+2)^3

    Nochmals danke!

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