Identitäten zeigen
-
Hallo,
könnte mir jemand die Identitäten zu folgenden Beispiel zeigen und zwar:
ich komme einfach mit den Umformen hin, ka warum, wenn es mir jemand zeigen könnte wäre das super!
mfg Joe
-
Das kommt ziemlich darauf an, von welcher Seite du kommst. Hier zeige ich, wie es geht, wenn man den Cosinus über seine Taylorreihe definiert. Da ich nicht die ganze Taylorreihe hinschreiben will, benutze ich die äquivalente Schreibweise mit der Exponentialfunktion. Man kann das aber garantiert auch über die geometrische Definition des Cosinus machen:
i sei das imaginäre Element.
\begin{align*} \cos(s)\cos(t)&=\left(\frac{e^{is}}{2}+\frac{e^{-is}}{2}\right)\left(\frac{e^{it}}{2}+\frac{e^{-it}}{2}\right)\\ &=\frac{e^{is}e^{it}}{4}+\frac{e^{is}e^{-it}}{4}+\frac{e^{-is}e^{it}}{4}+\frac{e^{-is}e^{-it}}{4}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{e^{i(s+t)}}{2}+\frac{e^{i(s-t)}}{2}+\frac{e^{i(-s+t)}}{2}+\frac{e^{i(-s-t)}}{2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{e^{i(s+t)+}e^{i(-s-t)}}{2}+\frac{e^{i(s-t)}+e^{i(-s+t)}}{2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\cos(s+t)+\cos(s-t)\right) \end{align*}
-
Einfach das Additionstheorem anwenden: $$\cos(s+t)=\cos s \cos t - \sin s \sin t$$, $$\cos(s-t) = \cos s \cos t + \sin s \sin t$$, beide Gleichungen addieren und halbieren.
-
Anscheinend denke ich zu kompliziert...
So einfach geht's natürlich auch.
-
zuerstmal danke für die schnelle Antwort aber etwas ist mir doch unklar, und zwar wenn ich diese beiden Gleichungen addiere dann hab ich:
dann durch 2
dann hab ich ja
oder?
-
Joe_ schrieb:
zuerstmal danke für die schnelle Antwort aber etwas ist mir doch unklar, und zwar wenn ich diese beiden Gleichungen addiere dann hab ich:
dann durch 2
dann hab ich ja
oder?
Wie kommst du denn da auf die erste Gleichung?
-
Ach ja da fehlt was! Gehört ja:
cos(s+t) + cos(s-t) = cos(s)\*cos(t) + cos(s)\*cos(t)Jetzt ist alles klar danke für die Hilfe!
