Verbände

Ich hab eine Frage zu Verbänden:
Soviel ich verstanden habe muss es zu 2 beliebigen Elementen aus einem Poset
ein Infimum und Supremum gibt.

Was ist wenn ich 2 unvergleichbare Elemente untersuche?

Oder kann das nicht vorkommen?

volkard

shisha schrieb:

Was ist wenn ich 2 unvergleichbare Elemente untersuche?

Kann es sein, daß Du zwischendurch mal davon ausgingst, daß eines der beiden Elemente das Supremum bzw Infimum sein muß? Nee, das passiert nur, wenn die beiden Elemenmte zufällig mal vergleichbar sind.

das ist gerade mein Problem, wie gehe ich vor wenn ich zwei unvergleichbare Elemente habe?

Wie erkenne ich dann ob es ein Supremum/Infimum für die beiden gibt?
Kann ich mir das am Hassediagramm irgendwie anschaulich erklären?

Bisher achtete ich stets nur darauf ob es ein Maximum / Minimum gibt und dass alle Elemente irgendwie verbunden sind aber so ganz verstanden habe ich es noch nicht

volkard

:xmas2:

shisha schrieb:

das ist gerade mein Problem, wie gehe ich vor wenn ich zwei unvergleichbare Elemente habe?

Wie erkenne ich dann ob es ein Supremum/Infimum für die beiden gibt?
Kann ich mir das am Hassediagramm irgendwie anschaulich erklären?

Bisher achtete ich stets nur darauf ob es ein Maximum / Minimum gibt und dass alle Elemente irgendwie verbunden sind aber so ganz verstanden habe ich es noch nicht

Äh, ja. Also alle Elemente finden, die >= beiden sind (und obere Schranken heißen), geht ja im Bildchen ganz gut. Wenn diese Elemente sogar noch ein kleinsten Element haben, haste DAS Supremum.
In Verbänden gilt, daß zwei Elemenmte ein Supremum haben.
Der folgende ist kein Verband.

1
  / \
 /   \
A     B
|\   /|
| \ / |
|     |
| / \ |
|/   \|
C     D
 \   /
  \ /
   0

Die oberen Schranken von C und D sind {A B 1} und die haben kein kleinstes Element. Beim Suchen nach dem Supremum bleibt man bei A und bei B hängen und keins ist besser als das andere. Wenns kein bestes gibt, gibts halt gar keins.

Bisher achtete ich stets nur darauf ob es ein Maximum / Minimum gibt und dass alle Elemente irgendwie verbunden sind

Ja, genau. Achte stets nur darauf ob es ein Maximum / Minimum gibt und dass alle Elemente irgendwie verbunden sind.

also erstmal sanke für deine hilfe am weihnachtsvormittag
(frohe weihnacht^^)

aber nochmal zu deinem Beispiel, ich hätte vermutet dass es sich hierbei um einen Verband handelt

schließlich kann ich ja sagen dass

1 > C
1 > D

gilt und ich damit ein kleinstes Element habe dass größer als C und D ist (1 ist ja eindeutiges Supremum)

Könntest du meinen Denkfehler offenbaren?

volkard

shisha schrieb:

also erstmal sanke für deine hilfe am weihnachtsvormittag
(frohe weihnacht^^)

aber nochmal zu deinem Beispiel, ich hätte vermutet dass es sich hierbei um einen Verband handelt

schließlich kann ich ja sagen dass

1 > C
1 > D

gilt und ich damit ein kleinstes Element habe dass größer als C und D ist (1 ist ja eindeutiges Supremum)

Könntest du meinen Denkfehler offenbaren?

Gesucht ist das beste Element, was über C und D liegt.

Aber was macht 1 besser als A oder B?

1 > C
1 > D

A > C
A > D

B > C
B > D

Alle drei gehen. Weitere Überklegungen, was von A B 1 das tiefste und beste ist, müssen innerhalb von A B 1 geschehen. 1 kanns ja schonmal nicht sein, denn A < 1, damit wäre A schonmal besser. B wäre auch besser. Leider sind A und B unvergleichbar, ich kann das beste nicht finden.

so dann nochmal ich hoffe die letzte frage dazu:

wenn die verbindung

A - D nicht existieren würde,

wäre es dann ein Verband oder nicht?

Wenn ich es recht verstanden habe dann dürfte es immer noch keiner sein, oder?

volkard

shisha schrieb:

so dann nochmal ich hoffe die letzte frage dazu:

wenn die verbindung

A - D nicht existieren würde,

wäre es dann ein Verband oder nicht?

Wenn ich es recht verstanden habe dann dürfte es immer noch keiner sein, oder?

Mal testen.

1
  / \
 /   \
A     B
|    /|
|   / |
|  /  |
| /   |
|/    |
C     D
 \   /
  \ /
   0

sup(c,d)=b, ohne komplikationen, kein anderer kandidat in sicht.
sup(a,d)=1, ist das einzige element über a und d und damit auch das kleinste
sup(a,b)=1, wie gehabt.
alle anderen paarungen sind paarungen vergleichbarere elemente und da ist sup(a,b)=max(a,b).
scheint mir ein verband zu sein.