Lineare Abbildungen, Basiswechsel

drakon schrieb:

Du musst die Basisvektoren der Abbildung mit den Vektoren von E ausdrücken.

ja, aber wie kann ich das für die ganze matrix auf einen schlag berechnen?

otze

the_freshmaker schrieb:

E_id_B * B_a_C = E_id_C
   ^               ^
  geg.            geg.

==> B_a_C = B_id_E * E_id_C
Jetzt will ich die Abbildung zur Basis E darstellen... wie muss ich weitermachen?

Welche Abbildung möchtest du denn zur Basis E darstellen?

Was du wahrscheinlich willst, ist eine QR-zerlegung der Matrix mit Q^T*Q=1 (also eine orthogonale Matrix) und R eine obere Dreiecksmatrix.

dann ist:

E_id_B=Q*R
E_id_C=Q_2*R_2
B_a_C=(Q*R)^-1 *Q_2*R_2= R^-1 * Q^T * Q_2 * R_2

und da dann Q,Q2 die Rotationen sein müssen, ist

E_a_E=Q * B_a_C * Q_2^T 
=Q * R^-1 * Q^T * Q_2 * R_2 * Q_2^T

(so, jetzt hab ichs :P)

otze schrieb:

Welche Abbildung möchtest du denn zur Basis E darstellen?

also hier mal das ganze mit werten: die lineare abbildung wird beschrieben durch:

(4, 9, 0, 8)^T    ->  (2, 5, -5, 1)^T
(-2, 7, 3, 4)^T   ->  (-7, -8, -6, 7)^T
(-4, 2, -7, 1)^T  ->  (-4, -5, -3, -7)^T
(9, -2, -2, 2)^T  ->  (-4, -8, 9, 1)^T

Man soll jetzt die Matrixdarstellung A von a bezüglich der Standardbasis angeben...

Jetzt muss man zuerst die Vektoren der Standardbasis als Linearkombination der 4 linken Spaltenvektoren ausdrücken und dann abbilden, das dauert aber... in der Vorlesung gings auch schneller/einfacher in Matrixschreibweise, weiß nur nicht mehr wie...

otze schrieb:

E_id_B=Q*R
E_id_C=Q_2*R_2
B_a_C=(Q*R)^-1 *Q_2*R_2= R^-1 * Q^T * Q_2 * R_2

soweit versteh' ichs noch...

E_a_E=Q * B_a_C * Q_2^T 
=Q * R^-1 * Q^T * Q_2 * R_2 * Q_2^T

das hab ich nich ganz verstanden, wie komme ich auf Q/R?

Merksatz: "Willst die Matrix du erhalten, schreib die Bilder in die Spalten"

Schreib die Bilder in die Spalten deiner Matrix und nimm die Urbilder als rechte Seiten (in der selben Reihenfolge wie die entsprechenden Bilder). Schreib es am besten als "erweiterte Matrix". Dann nimm Gauss und forme so um, dass die rechten Seiten eine Einheitsmatrix darstellen. Das, was dann links steht, ist die gesuchte Matrix.

Wenn du testen willst, ob du alles richtig gemacht hast: Multipliziere deine Matrix mit dem Urbild und schaue, ob das richtige rauskommt.

Mups schrieb:

Merksatz: "Willst die Matrix du erhalten, schreib die Bilder in die Spalten"

Schreib die Bilder in die Spalten deiner Matrix und nimm die Urbilder als rechte Seiten (in der selben Reihenfolge wie die entsprechenden Bilder). Schreib es am besten als "erweiterte Matrix". Dann nimm Gauss und forme so um, dass die rechten Seiten eine Einheitsmatrix darstellen. Das, was dann links steht, ist die gesuchte Matrix.

Ich rechne also:

(4 -2 -4  9  |  2 -7 -4 -4)               (1  0  0  0  | -1987   7125  -1147   4662)
(9  7  2 -2  |  5 -8 -5 -8)               (0  1  0  0  |  2878 -10319   1660  -6752)
(0  3 -7 -2  | -5 -6 -3  9)  -------->    (0  0  1  0  |   709  -2539    409  -1663)
(8  4  1  2  |  1  7 -7  1)               (0  0  0  1  |  1838  -6589   1060  -4312)
     ^              ^
Spalten Urbild   Spalten Bild

Das ist nicht das was rauskommen soll... Wenn ichs mit der Lösung vergleiche, kommen zwar große Werte raus, aber nicht diese (hab' es genau so in den PC eingegeben, daher schließe ich Rechenfehler mal aus)

Jester

Mups schrieb:

Dann nimm Gauss und forme so um, dass die rechten Seiten eine Einheitsmatrix darstellen. Das, was dann links steht, ist die gesuchte Matrix.

Du hast die linke Seite zur Einheitsmatrix berechnet, also die Inverse ausgerechnet.

Mups schrieb:

Dann nimm Gauss und forme so um, dass die rechten Seiten eine Einheitsmatrix darstellen. Das, was dann links steht, ist die gesuchte Matrix.

kennt jemand die passende funktion für matlab oder kann es geschwind selbst dem rechenknecht vorsetzen...

außerdem verstehe ich immer noch nicht ganz, warum das von mups gepostete verfahren stimmt.

otze

the freshmaker schrieb:

das hab ich nich ganz verstanden, wie komme ich auf Q/R?

(Q*R)^-1=R-1*Q^T