Frage bzgl. eines Beweises (Binomialkoeffizient)
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Hallo ihr,
in meiner Algebra Vorlesung haben wir folgendes bewiesen im Rahmen der Vorbereitung des kleinen Satzes von Fermat:
Sei p Element von N eine Primzahl, dann gilt für alle 0 < k < p:
Was ich mich frage ist ob p zwingend prim sein muss oder ob es ausreichend ist wenn p und k teilerfremd sind. Da ich keine Idee habe wie man die "Vermutung" das teilerfremdheit ausreichend ist beweisen könnte, habe ich ein Programm geschrieben um es zu prüfen. (Dies ersetzt keinesfalls einen Beweis, das ist mir klar)
Bis Zeile 2500 im pascalschen Dreieck gibt es jeweils keine Paare (p,k) bei welchen ggT(p,k) = 1 und wo $$p \nmid \binom {p} {k}$$
Hat von euch jemand vielleicht eine Idee wie ich/man das beweisen kann? Bzw sieht jemand hier schon nen Fehler?
Liebe Grüße!
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Ich versuche es mal:
Da k < p, teilt kein Faktor von k! die Primzahl p. Da aber der Bruch oben eine natürliche Zahl ist, muss gelten
{k!} \mid {[(p-1) \cdots (p-k+1)]}$$. Also ist p ein Teiler von $$\binom {p} {k}$$. Damit reicht schon die Bedingung p > k und p prim aus. Oder ich bin müde und übersehe irgendetwas.
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Ich in wirklich müde. Meine Antwort und deine Frage passen nicht so recht zusammen.
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Hallo: Ich schreibe n für p, weil es nicht mehr prim sein muss.
Es ist $. Zerlegen wir n als in Primfaktoren, so ist nach dem chinesischen Restsatz und dem kleinen Fermat (1 + X)^n = (1 + X)^{\prod\_i p\_i^{n\_i}} = (1 + X^{p\_j}^{n\_j})^{\prod\_{i \neq j} p\_i^{n\_i}} \pmod{p\_j^{n\_j}}$. Ausmultiplizieren sollte das Ergebnis liefern.
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KANN MALeiner den latexcode fixen?
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Hallo: Ich schreibe n für p, weil es nicht mehr prim sein muss.
Es ist $$(1 + X)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}X^k$$. Zerlegen wir n als $$n = \prod_i p_i^{n_i}$$ in Primfaktoren, so ist nach dem chinesischen Restsatz und dem kleinen Fermat $$(1 + X)^n = (1 + X)^{\prod_i p_i^{n_i}}$$
= (1 + X^{{p\_j}^{n\_j}})^{\prod_{i \neq j} p\_i^{n\_i}} \mathrm{mod}{p\_j^{n\_j}}$$. Ausmultiplizieren sollte das Ergebnis liefern.