Funktion mit Fallunterscheidung differenzierbar?

Hallo,

ich habe eine Funktion mit Fallunterscheidung gegeben:

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x\exp(\frac{-1}{x^2}), & x\neq0\\ 0, & x=0 \end{array}\right.$

Wie finde ich hierbei heraus ob die Funktion differenzierbar ist oder nicht?
Das Kriterium hierfür ist ja, wenn der Grenzwert $$ \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ für jedes $$ x_0 $$ existiert.

Aber wie mache ich das nun mit dieser Fallunterscheidung? Muss ich das dann für jeden Fall einzeln die Bedingung durchgehen? Das wäre ja irgendwie zu einfach... Ich weiß überhaupt nicht wie ich hierbei vorgehen soll. Ich hoffe mir kann das jemand erklären.

Gruß mathe-fan

knivil

Muss ich das dann für jeden Fall einzeln die Bedingung durchgehen?

Wie willst du fuer jede Stelle (ueberabzaehlbar unendlich viele) die Bedingung pruefen. Es reicht, Problemstellen zu untersuchen. In diesem Fall ist es $$x_0 = 0$$. Dort faellt auf, dass der Grenzwert des 1sten Falls ebenfalls 0 ist.

Also in diesem Fall nur für x=0? Der obere Fall ist ja offensichtlich differenzierbar für x != 0.

Bashar

knivil schrieb:

Dort faellt auf, dass der Grenzwert des 1sten Falls ebenfalls 0 ist.

Dann ist sie ja schonmal stetig
Den Grenzwert des Differenzenquotienten untersucht man dann auch noch in 0, wenn der existiert, ist sie dort auch differenzierbar. Dass sie für != 0 differenzierbar ist, ist zwar klar, aber erwähnen sollte man es auf jeden Fall. Je nach "Fortgeschrittenheit" der Veranstaltung unter Angabe der entsprechenden Differentiationsregeln.

Dann schreibe ich also für $$ x_0=0 $$: $$ lim_{x \to 0}\frac{x \exp(\frac{-1}{x^2})-0}{x-0} = 0 $$ (für den oberen Fall) und $$ lim_{x \to 0}\frac{0-0}{x-0} = 0 $$ (für den unteren Fall)
Somit habe ich dann gezeigt, dass die Ableitung existiert und f'(0) = 0 ist?

Wenn ich das nun richtig verstanden habe, muss ich falls ich in der Fallunterscheidung der Funktion nun irgendwelche andere "Problemstellen" habe, ich diese dann also auf die selbe Art beweisen. Aber da in diesem Beispiel nur $$ x_0 = 0 $$ "herausspringt", muss ich nur diesen Fall gründlich untersuchen. Für alle anderen sage ich dann einfach, dass die Funktion durch Produkt- und Kettenregel auch differenzierbar ist.

Bashar

mathe-fan schrieb:

Dann schreibe ich also für $$ x_0=0 $$: $$ lim_{x \to 0}\frac{x \exp(\frac{-1}{x^2})-0}{x-0} = 0 $$ (für den oberen Fall) und $$ lim_{x \to 0}\frac{0-0}{x-0} = 0 $$ (für den unteren Fall)

Ähm, Stopp mal. Du zeigst die Differenzierbarkeit nicht für die "Fälle", die haben mathematisch überhaupt keine Bedeutung, sondern für Punkte. Der Grenzwert $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$ ist nicht dasselbe wie $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{0-0}{x}$$, f(x) ist ja nicht in einer Umgebung von 0 gleich 0.

Es ist außerdem unnötig, über den Grenzwert zu gehen: Bilde doch einfach die Ableitung für x!=0 und bilde davon den Grenzwert für x gegen 0.

Um die Ableitung zu bilden muss ja der Grenzwert des Differentenquotienten existieren. Daher muss ich doch erst mal dessen Existenz zeigen bevor ich ableite?

Es reicht also wenn ich $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=c$$ beweise (in diesem Fall c = 0) und für f(x) das x*exp(...) einsetze? Das wäre demnach ja die Umgebung vom Wert 0.

Bashar

mathe-fan schrieb:

Um die Ableitung zu bilden muss ja der Grenzwert des Differentenquotienten existieren. Daher muss ich doch erst mal dessen Existenz zeigen bevor ich ableite?

Ja klar, aber das sollte (für x ungleich 0) ja nicht sehr schwer sein (normalerweise "sieht man", ansonsten halt Kettenregel, exp, Potenzfunktion, Produkt usw. aufzählen).

Warum nur für x != 0? Der Grenzwert wird in einer punktierten Umgebung von x0 bestimmt, d.h. x0 gehört selbst nicht dazu, weil man dann eine Division durch 0 hätte. Eigentlich müsste man das irgendwie mit an das "lim" schreiben, macht man aber nicht.

Okay, danke euch beiden. Nun hat's glaub ich klick gemacht

Wenn ich jetzt einen Schritt weiter gehe und die Ableitung bestimmen will, mache ich das mit den bekannten Regeln zu: $$ e^{-\frac{1}{x2}}+\frac{2e^{-\frac{1}{x2}}}{x^2} $$.
Gilt hier noch die selbe Fallunterscheidung wie zu Anfang? (Weil die Ableitung von 0 bleibt ja 0)