Matrizen A, B diagonalähnlich?

Hallo,

hab mal eine Frage zu "diagonalähnlich". Heißt das, dass bei beiden Matrizen die Eigenwert gleich sind oder was bedeutet das?

Also hier mal zwei Matrizen:

A=
(1 0 0 0)
(0 2 0 1)
(0 0 3 0)
(0 0 0 1)

B=
(1 0 0 1)
(0 2 0 0)
(0 0 3 0)
(0 0 0 1)

Würde das dann heißen:

A=B=
(EW1 0 0 0)
(0 EW2 0 0)
(0 0 EW3 0)
(0 0 0 EW4)

Oder wie ist das gemeint?

Hab grad nochwas gefunden:
http://www.matheboard.de/archive/398420/thread.html

Hat eine n*n Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren, so ist sie diagonalähnlich.

Also wie ich das jetzt verstanden habe: Ich muss die Eigenwerte berechnen, daraus die Eigenvektoren und wenn diese linear unabhängig sind, dann ist die Matrix diagonalähnlich, oder?

Das Wort "diagonalähnlich" finde ich ein bischen seltsam. Andere Leute nennen das "diagonalisierbar". Mal ins unreine geschrieben:

Eine Matrix A heisst diagonalisierbar, falls es eine invertierbare Matrix X und eine Diagonalmatrix L gibt, so dass A = X^(-1) L X.

Falls du ein Set von linear unabhängigen Eigenvektoren hast, schreibst du die in die Spalten von X und die entsprechenden Eigenwerte auf die Diagonale von L. Dann gilt deine Gleichung da oben.

Zum nachdenken: Warum müssen deine Eigenvektoren linear unabhängig sein? Was hat das mit der Eigenwertgleichung Ax=lambda*x zu tun?

(Es gibt noch den Satz: Genau dann wenn die geometrischen und die algebraischen Vielfachheiten aller Eigenwerte einer Matrix gleich sind, ist die Matrix diagonalisierbar. Hast du eine Idee, warum der gilt?)

Mups schrieb:

Eine Matrix A heisst diagonalisierbar, falls es eine invertierbare Matrix X und eine Diagonalmatrix L gibt, so dass A = X^(-1) L X.

Mir ist da ein -1 verhüpft. Normalerweise heisst es A = X L X^(-1).