Beweis von 3 teilt b, dann 9 teilt b mit Kontraposition

drakon

Auch du benutzt hier Kommutativität, sowie auch Assoziativität. Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.
btw:
Du hättest eher den Doppelpfeil nehmen sollen, weil sonst ist es eher eine Aussage (Implikation), aber ob sie jetzt wahr oder falsch ist steht da jetzt noch nicht.

drakon schrieb:

Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.

3*3=9 ist keine Annahme?

drakon schrieb:

Du hättest eher den Doppelpfeil nehmen sollen, weil sonst ist es eher eine Aussage (Implikation), aber ob sie jetzt wahr oder falsch ist steht da jetzt noch nicht.

Sie ist nur dann wahr, wenn 3|9 und 9|b. Fehlt Dir der Beweis für 3|9 ?

drakon

Dragoner schrieb:

drakon schrieb:

Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.

3*3=9 ist keine Annahme?

Nein. Folgt aus A.

drakon schrieb:

Du hättest eher den Doppelpfeil nehmen sollen, weil sonst ist es eher eine Aussage (Implikation), aber ob sie jetzt wahr oder falsch ist steht da jetzt noch nicht.

Sie ist nur dann wahr, wenn 3|9 und 9|b. Fehlt Dir der Beweis für 3|9 ?

Ich meinte da eher die syntaktische Feinheit. -> steht für Implikation. => steht für eine Implikation, die wahr ist (aka Folgerung). Bsp:
(1) a->b ( := ¬a v b )
(2) a=>b ( := a->b ist wahr )
Bei (1) kann ich nichts über die Wahrheitswerte von a und b sagen. Bei (2) weiss ich, dass wenn a wahr ist auch b wahr sein muss.

W0lf

Danke.

Die Diskussion, die darum jetzt entstanden ist, hilft auch ungemein zum Verständnis (Nein, keine Ironie)

drakon schrieb:

Dragoner schrieb:

drakon schrieb:

Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.

3*3=9 ist keine Annahme?

Nein. Folgt aus A.

Nein, A, die Definition der Teilbarkeit, ist allgemein. Wenn a (≠0, was er vergessen hat) c teilt, dann gibt es eine natürliche Zahl b, so dass a*b=c Das sagt nichts über den konkreten Fall 3|9 aus. Hätte er es sonst hinschreiben müssen? :p

drakon

Dragoner schrieb:

drakon schrieb:

Dragoner schrieb:

drakon schrieb:

Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.

3*3=9 ist keine Annahme?

Nein. Folgt aus A.

Nein, A, die Definition der Teilbarkeit, ist allgemein. Wenn a (≠0, was er vergessen hat) c teilt, dann gibt es eine natürliche Zahl b, so dass a*b=c Das sagt nichts über den konkreten Fall 3|9 aus. Hätte er es sonst hinschreiben müssen? :p

Ich war unpräzise. Wir dürfen 3*3=9 benutzen, weil * definiert ist. (Sonst können wir ja Teilbarkeit gar nicht definieren). Das 3|9 folgt dann aus A. So meinte ich das. Und das ist keine Annahme.
Ok, genau genommen ist es die Annahme der Assoziativität. Man braucht sie, wenn man die Transitivität allgemein beweisen will (daher ist es besser solche Beweise allgemein zu halten, dann passiert eine solche Subtilität nicht):

Behauptung: a|b AND b|c => a|c
Beweis:
d,e Elemente von Z

a|b =>(def.) a*d=b
                   => (a*d)*e=c =>(ass.) a*(d*e)=c =>(def.) a|c q.e.d.
b|c =>(def.) b*e=c

Kommutativität ist aber nicht notwendig.

life

drakon schrieb:

Kommutativität ist aber nicht notwendig.

Benutzten auch weder SeppJ noch Dragoner...

drakon

life schrieb:

drakon schrieb:

Kommutativität ist aber nicht notwendig.

Benutzten auch weder SeppJ noch Dragoner...

Doch.

life

drakon schrieb:

life schrieb:

drakon schrieb:

Kommutativität ist aber nicht notwendig.

Benutzten auch weder SeppJ noch Dragoner...

Doch.

Wo denn?

drakon

Sepp:

e*9=d.

Dragoner:

(p*q)*3 --> 3|b

Um nur 2 zu nennen.

life

Beide gehen offensichtlich von einer Definition ala "a teilt b gdw. es ein c \in Z mit c*a=b gibt" aus. Dementsprechend benutzen sie keine Kommutativität, sondern nur eine leicht andere Definition als Du.

drakon

Sie benutzen aber nicht konseqent die andere Schreibweise. Wenn es nur eine gibt, dann geht es in Ordnung, aber sobald man mischt wirds gefährlich.

life

Ich sehe keine inkonsistente Benutzung der Definition..

drakon

Meine Güte:

(A) Definition der Teilbarkeit: Wenn a ein Teiler von c ist, dann gibt es eine natürliche Zahl b, so dass a*b=c

Aus (A) folgt: Wenn 9 ein Teiler von d ist, dann gibt es eine natürliche Zahl e, so dass e*9=d.

Nach obiger Definition muss es lauten 9*e=d. Er schreibt aber e*9=d. Er benutzt Kommutativität.

Im übrigen hast du ja selbst gemerkt, dass Wikipedia keine andere Definition verwendet und ich kann nicht sagen, ob es überhaupt erlaubt ist.

life

Seine Definition habe ich mir nicht angeschaut. Verwendet man aber die Definition von Teilbarkeit wie ich sie oben angegeben habe, so benutzen sowohl SeppJ als auch Dragoner _keine_ Kommutativität.

Wikipedia definiert Teilbarkeit wie Du bzw. wie in (A).

drakon

Ich hatte im Kopf, dass sie gemischt haben, aber machen sie tatsächlich nicht.

Allerdings ändert das nichts an meiner Aussage. Mit der obigen Definition war Kommutativität im Spiel. Einfach eine andere Definition zu nehmen geht nicht. Und ich habe deine Version der Teilbarkeit auch noch nie gesehen.

Man muss sich an die gegebenen Definitionen halten, ansonsten macht das ganze gar keinen Sinn.

> Man muss sich an die gegebenen Definitionen halten, ansonsten macht das ganze gar keinen Sinn.

Z bildet mit der Multiplikation, auf die wir Teilbarkeit zurückführen, einen kommutativen Ring. Auch gilt in Z das Assoziativgesetz. Wir können alle bekannten Eigenschaften benutzen, ohne sie neu hinterfragen zu müssen, wenn wir z.B. wie hier Transivität der Teilbarkeit beweisen wollen.

> Transivität
Soll heissen Transitivität

SeppJ

Dann gilt das aber nur in Z. Ich habe bei meinem Beweis zwar auch von natürlichen Zahlen gesprochen, aber im Prinzip könnte man da alle Mengen einsetzen die eine Multiplikation kennen (z.B. Matrizen). Und so kann man dann ein viel allgemeineres Gesetz formulieren, sofern man nicht die Kommutativität benutzt.

Ist dann zwar an der Aufgabenstellung vorbei, aber dafür viel schöner .

life

drakon schrieb:

Man muss sich an die gegebenen Definitionen halten, ansonsten macht das ganze gar keinen Sinn.

Stimmt. Bei SeppJ könnte man tatsächlich bemängeln, dass erst Teilbarkeit nochmal definiert, nur um dann doch eine andere Definition zu benutzen. Aber woher weißt du, welche Definition Dragoner im Kopf hatte / vom Prof gegeben wurde?

Edit: Ich habe übrigens grad mal in meinem schlauen Zahlentheoriebüchlein nachgeschaut: Dort verwendet sie die Definition, die ich angegeben habe (sogar genau die gleichen Buchstaben :D).