Was ist das für eine Norm?
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Ich habe den folgenden Satz gefunden:
Sei \[u \in {C^2}\left( {\bar \Omega } \right)\] eine Lösung des Dirichletproblems
\[\begin{gathered} Lu = f\quad in\:\Omega \hfill \\ u = g\quad auf\:\partial \Omega \hfill \\ \end{gathered} \]Dann existiert eine Konstante C mit
\[{\left\| u \right\|_{C\left( {\bar \Omega } \right)}} \leqslant {\left\| g \right\|_{C\left( {\partial \Omega } \right)}} + C{\left\| f \right\|_{C\left( \Omega \right)}}\]
Was für Normen sind das? Wie sind die definiert?
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Es geht um das schwache Maximumprinzip? Dann dürfte das einfach die Supremumnorm auf der jeweiligen Menge sein.
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Ja, es geht ums Maximumprinzip.
Also so?
\[{\left\| {u\left( x \right)} \right\|_{C\left( {\bar \Omega } \right)}} = \mathop {\sup }\limits_{x \in \bar \Omega ,x \ne 0} \left\{ {\frac{{\left\| {u\left( x \right)} \right\|}} {{\left\| x \right\|}}} \right\}\]Mich hat das C irritiert, das dann in der Norm garnicht verwendet wird...
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Ich meinte so: $$C(\bar\Omega)$$ ist der Raum der stetigen Funktionen auf $$\bar\Omega$$. Mit der Supremumnorm, $$\lVert f \rVert_\infty := \sup_{x\in\bar\Omega} |f(x)|$$ wird daraus ein normierter Raum. Hat man verschiedene normierte Räume, gibt man den jeweils als Index zu den Norm-Strichen an, also <hier stand Unsinn>.
Ich glaube, du hast da eine Operatornorm im Blick? Falsche Baustelle.
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Das würde Sinn machen, wenn es wie folgt in meinem Skript stünde:
\[{\left\| {u\left( x \right)} \right\|_{\bar \Omega }}\]
Das wäre dann ja
\[{\left\| \cdot \right\|_{\bar \Omega }}:\bar \Omega \to \mathbb{R},\left\| {u\left( x \right)} \right\|: = \mathop {\sup }\limits_{x \in \bar \Omega } \left| {u\left( x \right)} \right|\]
Aber da steht
\[{\left\| {u\left( x \right)} \right\|_{C\left( {\bar \Omega } \right)}}\]
und das \[{C\left( {\bar \Omega } \right)}\] ist doch der Raum der Funktionen und nicht der für die Funktionswerte. Sorry ich hab es immernoch nicht ganz verstanden
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Sorry, ich hatte mich verleiten lassen, Unsinn zu scheiben; hab das mal editiert. Also, es gibt zwei Schreibweisen:
Erstens für reelle, beschränkte Funktionen $$f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$, $$\lVert f \rVert_D := \sup_{x\in D} |f(x)|$$.
Kommt man eher aus der Richtung beliebiger normierter Räume, schreibt man eher den Raum an die Norm-Striche, also z.B. den Funktionenraum $$C(D)$$.
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Ah ok, danke für die Erklärung
