Durch e-Funktion teilen

Hi,

ich habe bei der Vorbereitung auf eine Klausur eine Entdeckung gemacht, die mich doch sehr verwundert hat...

Man teile 1 durch eine beliebige e-Funktion. Beispiel:

1/exp(24 * x^2)

Man kann das nun so schreiben:

exp(-24 * x^2)

Oder man teilt durch 5:

5/exp(24 * x^2)

Das kann man dann so schreiben:

5 * exp(-24 * x^2)

Oder allgemeiner:

a / exp(z)

Wird zu:

a * exp(-z)

Warum ist das so?

SideWinder

Das hat doch nichts mit der e-Funktion zu tun.

2/5 = 2 * 5^(-1)

So kannst du bequem vom Nenner in den Zähler wechseln.

MfG SideWinder

SideWinder

Und die Quadratwurzel ist ^(1/2)

Und warum das so ist: http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)

MfG SideWinder

Mr.Fister

Warum das so ist? Naja fuer die Exponentialfunktion gilt allgemein exp(a)*exp(b)=exp(a+b). Das nennt sich Funktionalgleichungen und laesst sich aus ihrer Definition beweisen, geht aber ueber Schulstoff hinaus. Wenn man jetzt b=-a setzt, bekommt man exp(a)*exp(-a) = exp(0), also exp(-a)=1/exp(a)

Das gilt wie hier schon erwaehnt fuer alle Potenzen, haengt aber damit zusammen, dass man meist andere Potenzen auf die Exponentialfunktion zurueckfuert, und zwar definiert man x^y fuer positive x und y als exp(ln(y)*x). Die gewohnten Potenzgesetze, die man als Schueler wahrscheinlich meist einfach auswendiglernt, folgen dann daraus. Insbesondere halt auch x^-y=1/xy.

SeppJ

Mr.Fister schrieb:

Warum das so ist? Naja fuer die Exponentialfunktion gilt allgemein exp(a)*exp(b)=exp(a+b).

Ganze Generationen von Studenten der Naturwissenschaften sind ganz schön auf die Nase gefallen, weil sie glaubten, diese Formel wäre allgemein gültig.

Mr.Fister

Ich verstehe nicht genau, worauf du hinauswillst. Wann ist sie denn nicht gueltig? Nur damit ich nicht selbst auf die Nase falle.

SeppJ

Mr.Fister schrieb:

Ich verstehe nicht genau, worauf du hinauswillst. Wann ist sie denn nicht gueltig? Nur damit ich nicht selbst auf die Nase falle.

Die Formel exp(A+B)=exp(A)*exp(B) gilt nur allgemein, wenn A*B-B*A=0 . Diese Bedingung hört sich jetzt erstmal nach Blödsinn an, aber beispielsweise in der Physik benutzt man andauernd die Exponentialfunktion von Objekten, die dies nicht erfüllen, zum Beispiel Matrizen.

Den allgemeinsten Fall weiß ich nicht, ob man da überhaupt etwas umformen kann. Aber es gibt einen sehr weitreichenden Spezialfall, mit dem man fast immer auskommt: Definiere [A,B]=A*B-B*A . Unter den beiden Bedingungen [A,[A,B]]=0 und [B,[A,B]]=0 gilt:
exp(A+B)=exp(A)*exp(B)*exp(-1/2*[A,B])
Wie man sieht umfasst dies auch den noch spezielleren Fall [A,B]=0, in welchem man die von dir genannte und weitaus bekannteren Formel erhält.

SideWinder

Dann sind diese Matrizzen wohl einfach kein Körper, oder? Es gilt zumindest mit allen reellen Zahlen a und b

MfG SideWinder

Mr.Fister

Dann bin ich ja beruhigt. Dass die Exponentialfunktion fuer nicht-kommutierende Variablen nicht gelten muss wusste ich, aber ich ging aufgrund des Wissenslevels des OPs stillschweigend davon aus, dass wir ueber Koerper sprechen, also komplexe oder sogar nur reelle Zahlen.

Also, hjkjk, wenn du nicht-kommutierende Observablen in der Quantenmechanik betrachtest, Obacht geben.

Borschtsch

(Quark)