Extremwertaufgabe

Hey,

ich bekomme diese Aufgabe nicht einmal Ansatzweise hin(Lösungen habe ich, nur der Weg ist mir schleierhaft):

In eine Kugel mit dem Durchmesser d=8 soll ein Kegel mit maximalen Volumen.

Die HB ist demnach also V= $\frac{1}{3}$ $\pi$ * x² * y

Meine Skizze:
http://s5.directupload.net/file/d/2129/887557qi_png.htm

x²+y² = Schrägen links & rechts
Ab hier weiß ich nicht weiter ...

Danke schonmal für jeden Tipp

Chillkroete

SeppJ

Jetzt kommt die Nebenbedingung, d.h. wie groß ist x in Abhängigkeit von y. Wir schauen mal auf das Bild, da wird uns schon einiges klarer:
Ist y=0, so ist x=0
Ist y<0, so ist x=0
Ist y=d=8, so ist x=0
Ist y>d, so ist x=0
Ist y=d/2=4, so ist y=d/2=4
Die Werte für x sind um y=4 gespiegelt

Die Frage ist natürlich, welche Werte hat x zwischen 0 und d?
Ich weiß zwar das Ergebnis, aber ich frage mich, ob es Teil der Aufgabe ist, dass du darauf kommst, deswegen sage ich erstmal noch nichts. Aber ich gebe dir einen Hinweis, wie man drauf kommt: In einem Kreis haben alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt, nämlich r=d/2. Der Abstand zum Mittelpunkt ist in deinem Bild Wurzel(x^2 + (y-4)^2). Rechne nach, warum das so ist! Mit diesem Hinweis, solltest du x(y) ausrechnen können.

Wenn du danach oder dabei noch Schwierigkeiten hast, können wir weitere Tipps geben.

Eine Diagonale vom Mittelpunkt zum Punkt des Dreiecks rechts/links unten (und auch der obere Teil der Höhe) hat die Länge 4 das heißt:

y1 = 4
y2²=Diagonale²-(x)²
y2 =Wurzel(4²-(x)²)

D.h: V = $\frac{1}{3}$ $\pi$ *x²*(4+(Wurzel(4²-(x)²)
Nur wie Handhabe ich nun die Unbekannte in der Wurzel?

btw: Du hast ein Anderes Ergebnism muss wohl noch ihrgendwo ein Fehler in meiner Berechnung stecken ...

Das Volumen nach deiner Formel:
V = $\frac{1}{3}$ $\pi$ *x²*(4+(Wurzel(4²-(x)²)

V = $\frac{1}{3}$ $\pi$ *x²*(x²+y²-8y-16)
Wie würde ich dann weiter rechnen? Ausmultiplizieren oder (y²-8y-16) ausrechnen?

SeppJ

Ich würde es an deiner Stelle genau umgekehrt machen und x(y) benutzen anstatt y(x), denn das ist ein eindeutiger Zusammenhang:

$\sqrt{x^2+(y-4)^2)}=r$ \\ $\Rightarrow x=\sqrt{r^2-(y-4)^2}$ \\Eingesetzt in die Volumenformel: \\ $V=\frac{1}{3}\pi(r^2-(y-4)^2)y=\frac{1}{3}\pi(r^2y-y(y^2-8y+16))=\frac{1}{3}\pi(-y^3+8y^2+y(r^2-16))$ \\ Außerdem ist hier noch $r=4$, so dass der letzte Term wegfällt.

Von hier an sollte der Rest einfach sein. Prüf aber nochmal nach, ob ich mich nicht verrechnet habe. Ich habe nämlich alles hier im Editorfenster gemacht, da ist das nicht so übersichtlich, kann gut sein, dass ich etwas falsch gemacht habe. Mit dem Ansatz an sich sollte aber alles richtig sein.

Denk bei der Lösung der Extremwertaufgabe aber noch daran, dass y nur Werte zwischen 0 und d=8 haben darf! Du hast nämlich globale Maxima im Unendlichen.

knivil

Also ich wuerde y als Basisvariable waehlen (Zylindersymetrie ausnutzen). Danach eine Gleichung fuer x(y) aufstellen und in die Volumenformel fuer den Kegel einsetzen (da sowieso x² gesucht ist, braucht man auch nicht viel mit Wurzeln herumhantieren). In Volumenformel einsetzen, so dass man V(y) hat. Extrempunkt durch ableiten finden ...

Ach Mist, zu langsam!

Wofür steht in deiner Formel r? Bin etwas verwirrt, ist "r" der Abstand zwischen der Mitte und x oder der Radius?

knivil

Chillkroete schrieb:

Wofür steht in deiner Formel r? Bin etwas verwirrt, ist "r" der Abstand zwischen der Mitte und x oder der Radius?

Schaue dir doch mal die erste Gleichung an. Ist das eine Kreisgleichung? Was hat das r dort wohl fuer eine Funktion? Welche Funktionen erfuellen x und y? Alles klar?

PS: ich haette es ja so gelassen (y-4)² + x² = r².