Gibt es mehr wahre als falsche Aussagen?

[Bashar]

gdfgdf schrieb:

Auf einem endlichen Alphabet.

So weit würde ich jetzt gar nicht gehen.

[Gast]

gfdgdf schrieb:

Dann ist die Menge der Aussagen sogar abzählbar, d.h. es gibt Zahlen, über die es direkt keine Aussage gibt?

Wenn wir mal Aussagen über Zahlen weglassen, gilt immer noch daß jede Aussage verneint werden kann. "Die Erde ist eine Scheibe vs. die Erde ist keine Scheibe", usw. Daher vermute ich, daß auch hier gilt, daß es genau so viele falsche wie wahre Aussagen gibt.

Oder findet jemand von euch eine Aussage, die bejaht wie auch verneint, richtig und falsch zugleich ist?

[SeppJ]

@ gfdgdf, Bashar und Z:
Worauf wollt ihr überhaupt hinaus? Es gibt schließlich auch kontinuierliche Mengen.

[Gast]

SeppJ schrieb:

@ gfdgdf, Bashar und Z:
Worauf wollt ihr überhaupt hinaus? Es gibt schließlich auch kontinuierliche Mengen.

Ich bin leider nicht so bewandert in der Mengenlehre. Was sind kontinuierliche Mengen?

[nwp2]

Z schrieb:

Oder findet jemand von euch eine Aussage, die bejaht wie auch verneint, richtig und falsch zugleich ist?

Vielleicht sowas:
(aus einen Theo1-Script geklaut)

Im Städtchen Sonnenthal wohnt ein Barbier, der alle männlichen Einwohner rasiert, die sich nicht selbst rasieren.

Aussage: Der Barbier rasiert sich selbst.

Die Aussage ist weder wahr noch falsch (und ist damit keine boolsche Aussage).

So wie ich Theo1 noch im Kopf habe erzeugt man mit dem Satz ein Beweissystem, und dieses ist widersprüchlich, also kann man damit alles beweisen, unter anderem dass wahr = falsch ist.

Vielleicht kann man eine boolsche Aussage irgendwie an eine nicht entscheidbare Sprache hängen, sowas wie H(TM), wobei TM eine Turingmaschine ist und die Funktion H entscheidet ob die Turingmaschine hält, was nicht im allgemeinen Fall entscheidbar ist.

Es ist schon spannend wieviel Mist man sich ausdenken kann

[SeppJ]

Z schrieb:

SeppJ schrieb:

@ gfdgdf, Bashar und Z:
Worauf wollt ihr überhaupt hinaus? Es gibt schließlich auch kontinuierliche Mengen.

Ich bin leider nicht so bewandert in der Mengenlehre. Was sind kontinuierliche Mengen?

Das war jetzt etwas salopp gesagt für Mengen mit kontinuierlich vielen Elementen. Ich glaube es gibt dafür keinen besonderen Begriff in der Mathematik.

[Bashar]

SeppJ schrieb:

@ gfdgdf, Bashar und Z:
Worauf wollt ihr überhaupt hinaus? Es gibt schließlich auch kontinuierliche Mengen.

Schrub ich auch schon, indirekt BTW meinst du vielleicht überabzählbare Mengen?

[blalalal]

gleichmächtig, denn zu jeder waren aussage gibt es eine falsche und umgekehrt.
Wenn eine Aussage falsch ist, ist ihr negation wahr und umgekehrt, wir also ne bijektion.

[Gast]

nwp2 schrieb:

Z schrieb:

Oder findet jemand von euch eine Aussage, die bejaht wie auch verneint, richtig und falsch zugleich ist?

Vielleicht sowas:
(aus einen Theo1-Script geklaut)
Im Städtchen Sonnenthal wohnt ein Barbier, der alle männlichen Einwohner rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Aussage: Der Barbier rasiert sich selbst.

Ach so, Paradoxien, etwa sowas wie:

Der folgende Satz ist falsch.
Der Satz davor ist wahr.

Ich hätte meine Frage anders formulieren sollen: "Gibt es eine Aussage, die man nicht negieren kann?", also deren Verneinung denselben Wahrheitswert ergibt, wie das Original.

Btw, Was meinst Du mit Theo1? Theologie?

SeppJ schrieb:

Z schrieb:

SeppJ schrieb:

@ gfdgdf, Bashar und Z:
Worauf wollt ihr überhaupt hinaus? Es gibt schließlich auch kontinuierliche Mengen.

Ich bin leider nicht so bewandert in der Mengenlehre. Was sind kontinuierliche Mengen?

Das war jetzt etwas salopp gesagt für Mengen mit kontinuierlich vielen Elementen. Ich glaube es gibt dafür keinen besonderen Begriff in der Mathematik.

Unendliche Mengen vielleicht, also solche die mit dieser "Aleph-Nummer" klassifiziert werden?

[nwp2]

Z schrieb:

Btw, Was meinst Du mit Theo1? Theologie?

Theoretische Informatik

In C gibt es Ausdrücke die sich nicht mit der boolschen Logik umkehren lassen.
Zum Beispiel

#define X 2
#define AUSDRUCK !X
X == AUSDRUCK; //falsch
X == !AUSDRUCK; //auch falsch

Wenn man definiert was eine Aussage ist kann man die Frage auch klar beantworten. Ansonsten halt nicht.

[Gast]

nwp2 schrieb:

Z schrieb:

Btw, Was meinst Du mit Theo1? Theologie?

Theoretische Informatik

Danke! Mir wurde schon ganz schwindelig.

[Gast]

nwp2 schrieb:

In C gibt es Ausdrücke die sich nicht mit der boolschen Logik umkehren lassen.
Zum Beispiel

#define X 2
#define AUSDRUCK !X
X == AUSDRUCK; //falsch
X == !AUSDRUCK; //auch falsch

!2 ist 0 und !!2 ist 1. Du bekommst zwar nicht die 2 wieder zurück, aber das wird von boolscher Logik auch garnicht verlangt. In C++ ist "true" ungleich Null = 1, während "false" gleich Null ist.

nwp2 schrieb:

Wenn man definiert was eine Aussage ist kann man die Frage auch klar beantworten. Ansonsten halt nicht.

Wir gehen hier IMHO stillschweigend von aristotelischer, zweiwertiger Logik aus. Eine Aussage ist entweder vollkommen wahr oder falsch. Also nicht Aussagen, wie sie z.B. vor Gericht gemacht werden, deren Wahrheitsgehalt stufenlos sein kann.

[knivil]

"Gibt es eine Aussage, die man nicht negieren kann?"

Nein. Wenn doch so ist dein System widerspruechlich.

[Christoph]

nwp2 schrieb:

Z schrieb:

Btw, Was meinst Du mit Theo1? Theologie?

Theoretische Informatik

In C gibt es Ausdrücke die sich nicht mit der boolschen Logik umkehren lassen.
Zum Beispiel

#define X 2
#define AUSDRUCK !X
X == AUSDRUCK; //falsch
X == !AUSDRUCK; //auch falsch

Wenn man definiert was eine Aussage ist kann man die Frage auch klar beantworten. Ansonsten halt nicht.

Normalerweise sagt man, dass zwei Aussagen a, b in der Relation a ≡ b stehen, wenn sie denselben Wahrheitswert haben. Diese Interpretation von "Gleichheit" ist hier aber relativ uninteressant, weil dann alle wahren (bzw. alle falschen) Aussagen das gleiche sind.
Was hier vielleicht geeigneter ist, ist syntaktische Gleichheit. Dann funktioniert zumindest auf den ersten Blick das Argument, dass man eine Aussage a abbilden kann auf !a und damit Injektionen zwischen den Mengen der wahren bzw. falschen Aussagen findet.

Ein gewisses Problem bleibt aber bestehen: Was genau ist eine "Aussage" formal? Die mathematische Logik gibt darauf diese Antwort. Man definiert erstmal eine Signatur (d.h., man definiert welche Funktionssymbole, Relationssymbole und Konstanten es gibt) und definiert sich dann daraus, was eine syntaktisch korrekte "Formel" sein soll. Eine Formel ohne freie Variablen nennt man dann "Aussage".

Hier gibt es schon erste Probleme: Die Signatur (sozusagen das Alphabet) muss fest gewählt sein. Formeln, die auf unterschiedlichen Signaturen basieren, sind außer in Spezialfällen nicht vergleichbar. Zum anderen gibt es nicht mehr die "Menge aller Signaturen", das ist schon eine echte Klasse. Das Argument mit den Injektionen zwischen den Mengen der wahren und falschen Aussagen funktioniert also nicht mehr, weil das in dieser Definition dann doch Klassen sind.

Ein anderes Problem ist das Konzept der "Wahrheit" bei solchen Aussagen. Eine Aussage a über einer festen Signatur S ist wahr genau dann, wenn a in allen Modellen von S wahr ist. Die Aussage ist falsch, wenn sie in keinem Modell wahr ist. Aber nun kann es natürlich passieren, dass eine Aussage in manchen Modellen wahr und in manchen falsch ist. Zum Beispiel ist die Aussage "Es existiert ein x mit x+x = 1" wahr im Modell der reellen Zahlen aber falsch im Modell der ganzen Zahlen. Diese Aussage ist damit weder "wahr" noch "falsch" in diesem Sinne, sondern irgendwo dazwischen.

Jetzt könnte man natürlich fordern, dass die Aussagen bitte genau ein Modell exakt spezifieren sollen. Es ist allerdings ein Theorem*, dass das in Logik erster Stufe unmöglich ist. In Logik höherer Stufe können Aussagen ihr Modell exakt spezifieren, aber auch dort gibt es schnell Grenzen; spätestens wenn man hinunter auf die Mengenlehre geht, die nämlich auf Logik erster Stufe basiert. Nimm z.B. Jesters Aussage von vorhin etwas verallgemeinert "A und A^2 sind gleichmächtig, wenn A unendlich ist". In der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom ist das nicht beweisbar. Nimmt man also das Auswahlaxiom dazu?

Aber auch dann gibt es immer noch solche Aussagen, bei denen sich die Mengenlehre nicht auf einen Wahrheitswert festlegt. Die Aussage "es gibt keine Menge X von der Kardinalität größer als N aber kleiner als R" ist so ein Fall. Um zu entscheiden, ob diese Aussage wahr ist, muss man ein neues Axiom zur Mengenlehre hinzunehmen. Allgemein sind das wieder die Auswirkungen des Theorems*, das sagt, dass es in Logik erster Stufe grundsätzlich Aussagen geben wird, die weder "wahr" noch "falsch" sind.

Weil die Kollektion aller Signaturen eine Klasse bildet und weil Logik erster Stufe unvollständig ist, halte ich es für unmöglich, dass man wahre und falsche Aussagen in allgemeiner Weise zählen und von der Mächtigkeit vergleichen kann.

* Falls jemand genauer nachlesen möchte: Ich meine hier Gödels Unvollständigkeitssatz.

edit: R=R^2 müsste auch ohne Auswahlaxiom gelten. Allgemeiner gilt aber A=A^2 nur, wenn man das Auswahlaxiom hat (es ist sogar äquivalent dazu).

[volkard]

Also für mich ist das ganz einfach.
Ich erfasse mal ein paar ähnliche Aussagen.
42==0 //false
42==1 //false
42==2 //false
42==3 //false
42==4 //false
...
42==42 //true
...
42==43 //false
42==44 //false
42==45 //false
...

Also nur einmal true und 4294967295 mal false.
Es gibt "viel mehr" falsche Aussagen in dem Sinne, daß eine willkürlich dahergefummelte Aussage sehr wahrscheinlich falsch ist.

Und dann kommen die Mächtigkeiten. Jedem Kind ist klar, daß es viel mehr durch 2 teilbare Zahlen gibt als durch 42 teilbare Zahlen. Nur Mathematiker wissen das nicht.

[Bashar]

Hast du in Augsburg studiert?

[logisch, ne?]

Christoph schrieb:

...und weil Logik erster Stufe unvollständig ist...

1921 wurde bewiesen, daß die Aussagenlogik vollständig und wiederspruchsfrei ist.
1928 bewiesen Hilbert und Ackermann, daß die Prädikatenlogik (erster Stufe) widerspruchsfrei ist, 1931 bewies Gödel, daß sie vollständig ist.

http://books.google.com/books?id=Z_dBbelR7t0C&pg=PA333&lpg=PA333&dq=prädikatenlogik+vollständig&source=bl&ots=sjl_OWmzAk&sig=2p4HouC4LXauSekA_ZOXI-1QNsQ&hl=en&ei=f2zNS4D3IuKdOKvY6bQP&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CAYQ6AEwAA#v=onepage&q=prädikatenlogik vollständig&f=false

[DerBaer]

Man kann das ganze aber auch umdrehen:

Man kann 23 / 24 rechnen.
Man kann 23 / 23 rechnen.
Man kann 23 / 22 rechnen.
:
:
Man kann 23 / 2 rechnen.
Man kann 23 / 1 rechnen.
Man kann 23 / 0 rechnen. (Oder vllt doch nicht richtig?)

Nochwas:
folgender Satz ist sicherlich wahr:

"Dieser Satz enthält 30 Zeichen"
oder noch besser:
"Das ist ein Satz"

Aber was passiert wenn ich ihn negiere? Bzw. wie muss ich ihn negieren, damit er nicht mehr wahr ist?

Fazit(wie schon manchmal gesagt):
Man muss sich erstmal einigen was eine Aussage ist, wann sie wahr ist, ...

[4294967296]

volkard schrieb:

Jedem Kind ist klar, daß es viel mehr durch 2 teilbare Zahlen gibt als durch 42 teilbare Zahlen.

Wenn Du eine Obergrenze festlegst, magst Du wohl recht haben.

[Christoph]

logisch, ne? schrieb:

Christoph schrieb:

...und weil Logik erster Stufe unvollständig ist...

1921 wurde bewiesen, daß die Aussagenlogik vollständig und wiederspruchsfrei ist.
1928 bewiesen Hilbert und Ackermann, daß die Prädikatenlogik (erster Stufe) widerspruchsfrei ist, 1931 bewies Gödel, daß sie vollständig ist.

Das stimmt. Das ist leider sehr verwirrend, aber der Gödelsche Vollständigkeitssatz und der Gödelsche Unvollständigkeitssatz meinen mit "Vollständigkeit" unterschiedliche Konzepte. Relevant ist hier die "Vollständigkeit" im Sinne des Unvollständigkeitssatzes.