Gibt es mehr wahre als falsche Aussagen?
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"Gibt es eine Aussage, die man nicht negieren kann?"
Nein. Wenn doch so ist dein System widerspruechlich.
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nwp2 schrieb:
Z schrieb:
Btw, Was meinst Du mit Theo1? Theologie?
Theoretische Informatik
In C gibt es Ausdrücke die sich nicht mit der boolschen Logik umkehren lassen.
Zum Beispiel#define X 2 #define AUSDRUCK !X X == AUSDRUCK; //falsch X == !AUSDRUCK; //auch falschWenn man definiert was eine Aussage ist kann man die Frage auch klar beantworten. Ansonsten halt nicht.
Normalerweise sagt man, dass zwei Aussagen a, b in der Relation a ≡ b stehen, wenn sie denselben Wahrheitswert haben. Diese Interpretation von "Gleichheit" ist hier aber relativ uninteressant, weil dann alle wahren (bzw. alle falschen) Aussagen das gleiche sind.
Was hier vielleicht geeigneter ist, ist syntaktische Gleichheit. Dann funktioniert zumindest auf den ersten Blick das Argument, dass man eine Aussage a abbilden kann auf !a und damit Injektionen zwischen den Mengen der wahren bzw. falschen Aussagen findet.Ein gewisses Problem bleibt aber bestehen: Was genau ist eine "Aussage" formal? Die mathematische Logik gibt darauf diese Antwort. Man definiert erstmal eine Signatur (d.h., man definiert welche Funktionssymbole, Relationssymbole und Konstanten es gibt) und definiert sich dann daraus, was eine syntaktisch korrekte "Formel" sein soll. Eine Formel ohne freie Variablen nennt man dann "Aussage".
Hier gibt es schon erste Probleme: Die Signatur (sozusagen das Alphabet) muss fest gewählt sein. Formeln, die auf unterschiedlichen Signaturen basieren, sind außer in Spezialfällen nicht vergleichbar. Zum anderen gibt es nicht mehr die "Menge aller Signaturen", das ist schon eine echte Klasse. Das Argument mit den Injektionen zwischen den Mengen der wahren und falschen Aussagen funktioniert also nicht mehr, weil das in dieser Definition dann doch Klassen sind.
Ein anderes Problem ist das Konzept der "Wahrheit" bei solchen Aussagen. Eine Aussage a über einer festen Signatur S ist wahr genau dann, wenn a in allen Modellen von S wahr ist. Die Aussage ist falsch, wenn sie in keinem Modell wahr ist. Aber nun kann es natürlich passieren, dass eine Aussage in manchen Modellen wahr und in manchen falsch ist. Zum Beispiel ist die Aussage "Es existiert ein x mit x+x = 1" wahr im Modell der reellen Zahlen aber falsch im Modell der ganzen Zahlen. Diese Aussage ist damit weder "wahr" noch "falsch" in diesem Sinne, sondern irgendwo dazwischen.
Jetzt könnte man natürlich fordern, dass die Aussagen bitte genau ein Modell exakt spezifieren sollen. Es ist allerdings ein Theorem*, dass das in Logik erster Stufe unmöglich ist. In Logik höherer Stufe können Aussagen ihr Modell exakt spezifieren, aber auch dort gibt es schnell Grenzen; spätestens wenn man hinunter auf die Mengenlehre geht, die nämlich auf Logik erster Stufe basiert. Nimm z.B. Jesters Aussage von vorhin etwas verallgemeinert "A und A^2 sind gleichmächtig, wenn A unendlich ist". In der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom ist das nicht beweisbar. Nimmt man also das Auswahlaxiom dazu?
Aber auch dann gibt es immer noch solche Aussagen, bei denen sich die Mengenlehre nicht auf einen Wahrheitswert festlegt. Die Aussage "es gibt keine Menge X von der Kardinalität größer als N aber kleiner als R" ist so ein Fall. Um zu entscheiden, ob diese Aussage wahr ist, muss man ein neues Axiom zur Mengenlehre hinzunehmen. Allgemein sind das wieder die Auswirkungen des Theorems*, das sagt, dass es in Logik erster Stufe grundsätzlich Aussagen geben wird, die weder "wahr" noch "falsch" sind.
Weil die Kollektion aller Signaturen eine Klasse bildet und weil Logik erster Stufe unvollständig ist, halte ich es für unmöglich, dass man wahre und falsche Aussagen in allgemeiner Weise zählen und von der Mächtigkeit vergleichen kann.
* Falls jemand genauer nachlesen möchte: Ich meine hier Gödels Unvollständigkeitssatz.
edit: R=R^2 müsste auch ohne Auswahlaxiom gelten. Allgemeiner gilt aber A=A^2 nur, wenn man das Auswahlaxiom hat (es ist sogar äquivalent dazu).
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Also für mich ist das ganz einfach.
Ich erfasse mal ein paar ähnliche Aussagen.
42==0 //false
42==1 //false
42==2 //false
42==3 //false
42==4 //false
...
42==42 //true
...
42==43 //false
42==44 //false
42==45 //false
...Also nur einmal true und 4294967295 mal false.
Es gibt "viel mehr" falsche Aussagen in dem Sinne, daß eine willkürlich dahergefummelte Aussage sehr wahrscheinlich falsch ist.Und dann kommen die Mächtigkeiten. Jedem Kind ist klar, daß es viel mehr durch 2 teilbare Zahlen gibt als durch 42 teilbare Zahlen. Nur Mathematiker wissen das nicht.
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Hast du in Augsburg studiert?
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Christoph schrieb:
...und weil Logik erster Stufe unvollständig ist...
1921 wurde bewiesen, daß die Aussagenlogik vollständig und wiederspruchsfrei ist.
1928 bewiesen Hilbert und Ackermann, daß die Prädikatenlogik (erster Stufe) widerspruchsfrei ist, 1931 bewies Gödel, daß sie vollständig ist.
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Man kann das ganze aber auch umdrehen:
Man kann 23 / 24 rechnen. Man kann 23 / 23 rechnen. Man kann 23 / 22 rechnen. : : Man kann 23 / 2 rechnen. Man kann 23 / 1 rechnen. Man kann 23 / 0 rechnen. (Oder vllt doch nicht richtig?)Nochwas:
folgender Satz ist sicherlich wahr:"Dieser Satz enthält 30 Zeichen"
oder noch besser:
"Das ist ein Satz"Aber was passiert wenn ich ihn negiere? Bzw. wie muss ich ihn negieren, damit er nicht mehr wahr ist?
Fazit(wie schon manchmal gesagt):
Man muss sich erstmal einigen was eine Aussage ist, wann sie wahr ist, ...
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volkard schrieb:
Jedem Kind ist klar, daß es viel mehr durch 2 teilbare Zahlen gibt als durch 42 teilbare Zahlen.
Wenn Du eine Obergrenze festlegst, magst Du wohl recht haben.
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logisch, ne? schrieb:
Christoph schrieb:
...und weil Logik erster Stufe unvollständig ist...
1921 wurde bewiesen, daß die Aussagenlogik vollständig und wiederspruchsfrei ist.
1928 bewiesen Hilbert und Ackermann, daß die Prädikatenlogik (erster Stufe) widerspruchsfrei ist, 1931 bewies Gödel, daß sie vollständig ist.Das stimmt. Das ist leider sehr verwirrend, aber der Gödelsche Vollständigkeitssatz und der Gödelsche Unvollständigkeitssatz meinen mit "Vollständigkeit" unterschiedliche Konzepte. Relevant ist hier die "Vollständigkeit" im Sinne des Unvollständigkeitssatzes.
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DerBaer schrieb:
Nochwas:
folgender Satz ist sicherlich wahr:"Dieser Satz enthält 30 Zeichen"
oder noch besser:
"Das ist ein Satz"Aber was passiert wenn ich ihn negiere? Bzw. wie muss ich ihn negieren, damit er nicht mehr wahr ist?
Fazit(wie schon manchmal gesagt):
Man muss sich erstmal einigen was eine Aussage ist, wann sie wahr ist, ...Genau das ist der Punkt: Man muss formal definieren, was eine "Aussage" sein soll, bevor man irgendwie über die Mächtigkeiten von "wahren" und "falschen" Aussagen reden kann. Warum das aber nicht so einfach ist, habe ich in meinem langen Posting vorhin ausführlicher beschrieben.
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"Das ist ein Satz"
Selbstreferenz wurde doch schon durch das Barbierbeispiel gegeben. Sie wird im Allgemeinen in der Logik vermieden.
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Christoph schrieb:
Das stimmt. Das ist leider sehr verwirrend, aber der Gödelsche Vollständigkeitssatz und der Gödelsche Unvollständigkeitssatz meinen mit "Vollständigkeit" unterschiedliche Konzepte. Relevant ist hier die "Vollständigkeit" im Sinne des Unvollständigkeitssatzes.
Was ist denn der Unterschied? Vollständigkeit kenn ich als die Implikation "wahr => beweisbar", und dass das in der Prädikatenlogik 1. Stufe so ist, hat Gödel bewiesen.
Geh ich auf http://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_Unvollständigkeitssatz so finde ich da den gleichen Vollständigkeitsbegriff. Das was du zuerst als Unvollständigkeit bezeichnet hast, also dass eine Aussage kein "Modell spezifizieren" kann, kommt mir vage bekannt vor, aber in die Schublade Vollständigkeit würde ich es erstmal nicht ohne weiteres einordnen. Kannst du das aufklären?
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Christoph schrieb:
Nimm z.B. Jesters Aussage von vorhin etwas verallgemeinert "A und A^2 sind gleichmächtig, wenn A unendlich ist". In der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom ist das nicht beweisbar. Nimmt man also das Auswahlaxiom dazu?
Sicher? Braucht man das nicht erst wenn man unendliche Produkte anschaut?
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Jester schrieb:
Christoph schrieb:
Nimm z.B. Jesters Aussage von vorhin etwas verallgemeinert "A und A^2 sind gleichmächtig, wenn A unendlich ist". In der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom ist das nicht beweisbar. Nimmt man also das Auswahlaxiom dazu?
Sicher? Braucht man das nicht erst wenn man unendliche Produkte anschaut?
Ja, sicher. Die Aussage "A ist gleichmächtig zu A^2 für alle unendlichen Mengen A" ist äquivalent zum Auswahlaxiom.
Beweisskizze: Angenommen |A| = |A^2| für unendlich große A. Sei X eine unendliche Menge. Gesucht ist eine Wohlordnung von X. Sei a eine Ordinalzahl, sodass es keine Injektion a -> X gibt (so eine Ordinalzahl muss es geben auch ohne Auswahlaxiom. Gäbe es sie nicht, wäre die Klasse der Ordinalzahlen eine Menge). Betrachte (X + a) \times (X + a). Nach Voraussetzung gibt es eine Injektion f: (X + a) \times (X + a) -> (X + a). Wähle x \in X beliebig. Dann gibt es eine Ordinalzahl b, sowass f(x, b) \in a. Andernfalls wäre f(x, b) \in X für alle b \in a, ein Widerspruch dazu, dass es keine Injektion a -> X gibt. Sei b_x die minimale Ordinalzahl b \in a, sodass f(x,b) \in a. Betrachte die Menge S = { b_x | x \in X } und schränke f ein auf X \times S. f ist eine Injektion, d.h. f(x, b_x) ist für jedes x eine andere Ordinalzahl. Damit hat man eine Injektion von X -> a gefunden, d.h. man hat X wohlgeordnet.
edit: Für zwei Mengen X, Y meine ich mit X+Y die disjunkte Vereinigung.
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Bashar schrieb:
Christoph schrieb:
Das stimmt. Das ist leider sehr verwirrend, aber der Gödelsche Vollständigkeitssatz und der Gödelsche Unvollständigkeitssatz meinen mit "Vollständigkeit" unterschiedliche Konzepte. Relevant ist hier die "Vollständigkeit" im Sinne des Unvollständigkeitssatzes.
Was ist denn der Unterschied? Vollständigkeit kenn ich als die Implikation "wahr => beweisbar", und dass das in der Prädikatenlogik 1. Stufe so ist, hat Gödel bewiesen.
Geh ich auf http://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_Unvollständigkeitssatz so finde ich da den gleichen Vollständigkeitsbegriff. Das was du zuerst als Unvollständigkeit bezeichnet hast, also dass eine Aussage kein "Modell spezifizieren" kann, kommt mir vage bekannt vor, aber in die Schublade Vollständigkeit würde ich es erstmal nicht ohne weiteres einordnen. Kannst du das aufklären?Der Vollständigkeitssatz zeigt, dass jede wahre Aussage beweisbar ist. Er benutzt dabei "wahr" im (üblichen) Sinne von "allgemeingültig".
Der Unvollständigkeitssatz dagegen beweist die Existenz eines Satzes phi, sodass weder phi noch !phi beweisbar ist. In Kombination mit dem Vollständigkeitssatz folgt daraus aber sofort, dass dann weder phi noch !phi wahr sein können (sonst wäre phi bzw. !phi beweisbar).
Der Beweiskalkül ist vollständig in dem Sinne, dass alle allgemeingültige Aussagen bewiesen werden können.
Der Beweiskalkül ist unvollständig in dem Sinne, dass es Aussagen gibt, die von dem Kalkül weder bewiesen noch widerlegt werden können. Solche Aussagen sind dann weder "wahr" noch "falsch" (im Sinne von "allgemeingültig").edit: Anders formuliert: Der Unvollständigkeitssatz garantiert die Existenz eines Satzes phi mit der Eigenschaft, dass weder phi noch !phi im Kalkül beweisbar ist. Dann muss es zwangsläufig ein Modell geben, in dem phi falsch ist und ein anderes Modell, in dem !phi falsch ist. Ansonsten wäre phi bzw. !phi allgemeingültig und laut dem Vollständigkeitssatz beweisbar.
edit2: Der Unvollständigkeitssatz sagt insbesondere nicht, dass es einen wahren Satz gibt, der nicht beweisbar ist. Das wäre die Umkehrung vom Vollständigkeitssatz und würde damit im Widerspruch dazu stehen. Das meinte ich damit, als ich sagte, dass der Vollständigkeits- und der Unvollständigkeitssatz über unterschiedliche Konzepte von "Vollständigkeit" reden.
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nwp2 schrieb:
Das erinnert mich an einen lustigen Beweis:
Für g = gerade Zahl, u = ungerade Zahl:
g * g = g
g * u = g
u * g = g
u * u = u
Folgerung: Es gibt dreimal soviele gerade wie ungerade Zahlen.Was ist denn das für ein Mist?^^
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@Christoph,
"eigentlich" ist das doch dann eine sehr triviale Aussage. Man nehme die Gruppentheorie mit ihren 3 oder 4 Axiomen (e sei das Funktionssymbol für das neutrale Element) und formuliere eine Aussage wie $$\forall x x = e$$. Das ist für Gruppen mit genau 1 Element eine wahre Aussage und sonst eine falsche Aussage. Weder die Aussage noch ihre Negation ist allgemeingültig, also gibt es auch keine Beweise dafür.Nun war ich immer der Ansicht, der Gödelsche Unvollständigkeitssatz bräuchte "hinreichend mächtige" Systeme, um selbstbezügliche Aussagen zu formulieren. Das ist ja hier nicht der Fall. Wo ist der Denkfehler?
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Bashar schrieb:
@Christoph,
"eigentlich" ist das doch dann eine sehr triviale Aussage. Man nehme die Gruppentheorie mit ihren 3 oder 4 Axiomen (e sei das Funktionssymbol für das neutrale Element) und formuliere eine Aussage wie $$\forall x x = e$$. Das ist für Gruppen mit genau 1 Element eine wahre Aussage und sonst eine falsche Aussage. Weder die Aussage noch ihre Negation ist allgemeingültig, also gibt es auch keine Beweise dafür.Nun war ich immer der Ansicht, der Gödelsche Unvollständigkeitssatz bräuchte "hinreichend mächtige" Systeme, um selbstbezügliche Aussagen zu formulieren. Das ist ja hier nicht der Fall. Wo ist der Denkfehler?
Ich würde sagen da ist kein Denkfehler: Du hast gerade gezeigt, dass das Axiomensystem der Gruppen unvollständig ist.
Das faszinierende am Gödelschen Unvollständigkeitssatz ist aber, dass er das nicht nur für bestimmte konkrete Axiomensysteme zeigt, sondern für alle hinreichend mächtigen. Man könnte ja vermuten, dass man das Axiomensystem der Gruppen nur hinreichend oft erweitern müsste, um irgendwann ein vollständiges System zu haben. Das klappt in vielen anderen Gebieten, z.B. algebraisch abgeschlossene Körper werden dadurch konstruiert, dass man einen gegebenen Körper "oft genug" erweitert, solange bis er algebraisch abgeschlossen ist. Gödel hat gezeigt, dass egal wie oft man ein hinreichend mächtiges Axiomensystem auch erweitert, es immer unvollständig sein wird.
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Ich würde sagen, dass es mehr falsche als wahre Aussagen gibt, weil man z.B. über ein konkretes Objekt i.d.R. mehr nicht zutreffende Aussagen formulieren kann, als dieses an Eigenschaften aufweist.
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Gödel hat gezeigt, dass egal wie oft man ein hinreichend mächtiges Axiomensystem auch erweitert, es immer unvollständig sein wird.
Nein, das ist falsch. Es wird nur widerspruechlich.
Ich würde sagen, dass es mehr falsche als wahre Aussagen gibt, weil man z.B. über ein konkretes Objekt i.d.R. mehr nicht zutreffende Aussagen formulieren kann, als dieses an Eigenschaften aufweist.
Als ob Mathematik was mit Meinung oder Demokratie zu tun haette. Wer ist dafuer, dass 5 + 5 = 13 ist? 43% fuer Nein, 51% fuer Ja, 5% Enthaltung, 1% ungueltige Stimmen. So ein Quatsch.
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knivil schrieb:
Gödel hat gezeigt, dass egal wie oft man ein hinreichend mächtiges Axiomensystem auch erweitert, es immer unvollständig sein wird.
Nein, das ist falsch. Es wird nur widerspruechlich.
Nagut.
Dann eben: Gödel hat gezeigt, dass egal wie oft man ein hinreichend mächtiges widerspruchfreies Axiomensystem auch widerspruchsfrei erweitert, es immer unvollständig sein wird.Widerspruchsvolle Axiomensysteme betrachtet man normalerweise erst gar nicht, aber ganz genau genommen hast du natürlich Recht.