4. Warum ist 2523^0 = 1?

Warum ist 2523^0 = 1?

  • Z

    http://www.mathe-online.at/mathint/pot/i.html schrieb:

    Um das zu klären, setzen wir in Regel (2) m = 1 und n = 0 ein und erhalten a^1 = a^1 a^0. Wir wissen aber, dass a^1 = a ist. Wenn also a^0, mit a multipliziert, wieder a ergibt, so muss
    a^0 = 1

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  • B

    Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. Also kann man die Potenz als Rekursion definieren:

    $ a^0 = 1\\ a^{n+1} = aa^n $

    Dasselbe findet sich z.B. bei der Fakultät: 0! = 1 und beim Produktzeichen: $$\displaystyle\prod_{i\in\emptyset}a_i = 1$$

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  • M

    Mathedau schrieb:

    wie kann also etwas, das nicht da ist, Eins ergeben?

    Seltsam. Sonst stimmt das immer, zB in 4^0.5, da kommt die 4 ein halbes mal vor.
    🙂

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  • M

    20=2(5−5)=2525=12^0=2^{(5-5)}=\frac{2^5}{2^5}=1

    Find ich zumindest noch die "anschaulichste" Erklärung, und dass das für alle Basen und Exponenten gilt, sollte klar sein.

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  • M

    Wobei dabei ein wenig Ursache und Wirkung vertauscht werden. Diese Potenzgesetze gelten gerade deswegen, weil man x^0 = 1 definiert.

    Und da sieht man direkt einen Grund, warum man es so definiert: Weil es so am praktischsten ist. Es gibt kein Naturgesetz, das sagt, dass x^0 = 1 sein muss, aber dieses Ergebnis passt einfach am besten, sodass man nicht bei jedem zweiten Lemma ne Fallunterscheidung machen muss.

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  • I

    Vielleicht wäre noch anzufügen, dass 0^0 nicht definiert ist, also nicht eins ist. Somit gilt: x^0 = 1 | x != 0.

    Btw... der Google-Rechner sagt, dass 0^0 = 1 ist... toll ^^

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  • M

    Naja, es gibt schon viele Fälle, in denen man sich 0^0 = 1 definiert, weils passt.

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  • I

    Hmm... das wusste ich nicht. Ich fange erst im Herbst mit dem Studium an, hatte bis jetzt also nur Gymnasium-Mathematik.

    In welchen Fällen ergibts denn Sinn?

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  • R

    Allgemein f(x) hoch g(x), da ist es meistens 1, z.B.: x^2 hoch x^2. Sonst lies wikipedia

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  • V

    Rhombicosidodecahedron schrieb:

    Allgemein f(x) hoch g(x), da ist es meistens 1, z.B.: x^2 hoch x^2. Sonst lies wikipedia

    0^0 = n.d.
    aber
    (0²)^(0²) = 1

    Hä?

    0
  • R

    volkard schrieb:

    Rhombicosidodecahedron schrieb:

    Allgemein f(x) hoch g(x), da ist es meistens 1, z.B.: x^2 hoch x^2. Sonst lies wikipedia

    0^0 = n.d.
    aber
    (0²)^(0²) = 1

    Hä?

    Fast: [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x2)(x^2)]Wolfram|alpha [/url] viellicht ist das an der Stelle 0 nicht definiert aber man sieht deutlich, dass es dort gegen 1 strebt

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  • V

    Rhombicosidodecahedron schrieb:

    viellicht ist das an der Stelle 0 nicht definiert aber man sieht deutlich, dass es dort gegen 1 strebt

    Was ein Quatsch.
    Umgebungen und Strebungen und das Kreuz mit der Null:
    A) x/x=1 für alle x!=0. Daher ergänzen wir 0/0=1 und schließen die Lücke.
    😎 0/x=0 für alle x!=0. Daher ergänzen wir 0/0=0 und schließen die Lücke.
    C) Wir geben's auf und lassen 0/0 undefiniert.
    D) Wir beobachten, daß oft 0/0=1 praktisch wäre und definieren aus rein praktischen Erwägungen 0/0=1

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  • J

    Die Definition für allgemeine Potenzen (d.h. mit reellem Exponenten) beantwortet die Ausgangsfrage direkt:

    x^a := e^(a ln(x))
    25230=e(0 * ln(2523))= e^0 = 1

    0^a := 0, weil man wegen lim(x->0) x^a = 0 für a > 0, x^a im Nullpunkt stetig fortsetzen kann.

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  • M

    Jockelx schrieb:

    Die Definition für allgemeine Potenzen (d.h. mit reellem Exponenten)

    und positiver Basis.

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  • ?

    volkard schrieb:

    Rhombicosidodecahedron schrieb:

    viellicht ist das an der Stelle 0 nicht definiert aber man sieht deutlich, dass es dort gegen 1 strebt

    Was ein Quatsch.
    Umgebungen und Strebungen und das Kreuz mit der Null:
    A) x/x=1 für alle x!=0. Daher ergänzen wir 0/0=1 und schließen die Lücke.
    😎 0/x=0 für alle x!=0. Daher ergänzen wir 0/0=0 und schließen die Lücke.
    C) Wir geben's auf und lassen 0/0 undefiniert.
    D) Wir beobachten, daß oft 0/0=1 praktisch wäre und definieren aus rein praktischen Erwägungen 0/0=1

    E) ?????
    F) PROFIT

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  • ?

    0^0 = 1 ist das einzig Sinnvolle. Ansonsten müsste man für Polynome in R immer eine Fallunterscheidung durchführen; zB dann, wenn der Graph von f(x) = c = c * x^0 die y-Achse schneidet

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  • M

    0^0 = e ist das einzig Sinnvolle, denn sonst müsste man bei (e(1/x))x bei x = 0 immer ne Fallunterscheidung machen...

    Deine Fallunterscheidung kann man übrigens ganz einfach dadurch vermeiden, indem man nicht x^0 schreibt, sondern nur bei der Konstante bleibt.

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  • I

    Ist schon recht lustig, mein Taschenrechner (Texas Instruments voyage 200) sagt nämlich, dass 0^0 nicht definiert ist. Auch bei f(x) = x^0+3 ist f(0) nicht definiert.

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  • Y

    x^0=1 ist zum Beispiel bei Polynomringen praktisch, wo man gerne folgendes schreiben will:

    ∑i=0nα_iti statt ∑_i=1nα_iti+α_0\sum_{i=0}^n \alpha\_i t^i \text{ statt } \sum\_{i=1}^n \alpha\_i t^i + \alpha\_0

    Und 0^0 braucht man dann zB wenn man die Einsetzung in ein Polynom definiert. Oder wenn man sich in der Analysis mit Potenzreihen beschäftigt.
    Das Ganze ist einfach nur eine nützliche Konvention zur Schreibersparnis.

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  • ?

    http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#.E2.80.9ENull_hoch_null.E2.80.9C

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