Erklärung gesucht: Sinn der Definition "- mal - = +"

@ Problem:

Es gilt nach den Axiomen der Ringtheorie (hier Ring der ganzen Zahlen, eine kommutativer Ring mit 1):

(-1)*(-1) + (-1)
= (-1)*(-1) + (-1)*1    [1 ist neutrales El. von (Z,*)]
= (-1)*(-1+1)           [Distributivgesetz]
= (-1)*0                [(Z,+) ist Gruppe mit neutralem El.0]             

und 

(-1)*0 = (-1)*(0+0) =(-1)*0 + (-1)*0 [wieder Distributivgesetz]
=> [auf beiden Seiten (-1)*0 subtrahieren] 
=> (-1)*0 = 0

=> (-1)*(-1) + (-1) = 0        
=> (-1)*(-1) ist additives Inverses von -1
=> (-1)*(-1) = -(-1)= 1 [denn 1+(-1)=0, also -(-1)=1]

knivil

Manche Leute wollen Dinge verstehen und nicht nur hinnehmen.

Und manche Dinge sind Definitionssache. Klar kann man mit Gruppen und Koerper argumentieren, aber welchen Sinn hat das? Da in naechster Konsequenz der Sinn der Koerper- und Gruppendefinition hinterfragt werden muss. Warum macht man das so? Man kann auch einfach sagen, dass das Vorzeichen (oder -1) sich wegkuerzt:

-1 * -1 = 1/-1 * -1/1 = 1

Aber wer wuerde in solch trivialen Sachen versuchen, Sinn zu suchen. Da ist man vielleicht mit einer Religion besser bedient, anstatt ihn in Mathematik zu suchen.

ein gewisser Forenuser in 80% seiner Posts

Hast du nachgezaehlt? Ansonsten ist der Wert blanke Unterstellung.

Mr.Fister

(-1)*(-1) > 0 ist in jedem angeordneten Koerper nunmal so. Das kann man beweisen (als Uebung an den geneigten Leser ueberlassen). Ist der Koerper nicht angeordnet, kann man schlecht von negativen und positiven Elementen sprechen.
Die reellen Zahlen sind zB ein angeordneter Koerper, aber die Multiplikation ist aus offensichtlichen Gruenden nicht so definiert wie fuer natuerlich eZahlen, sondern durch Aequivalenzklassen ueber rationale, ganze und letztlich natuerliche Zahlen.
Etwas aehnliches gilt vermutlich fuer Ringe, wenn man nur Z betrachten will.

Noch Fragen?

Jockelx

Sollten diese -im Grunde nichts aussagenden- Sätze jetzt besonders schlau wirken?

While*true***

Ich denke es wurde einfach festgelegt, dass der Minusoperator überladen ist.
Er dient als Vorzeichen - wie auch das Pluszeichen -, negiert aber als Faktor das Ergebnis.

Das muss aber so sein, wie sollte man sonst (-3)*(4) interpretieren?

Oder?

dot

DerBaer hats ja schon gesagt. (-2)*(-4) bedeutet dass du (-4) mal (-2) addierst. (-2)+(-2)+(-2)+(-2) ist aber 4 mal (-2) addiert. Wenn dus (-4) mal addieren willst bedeutet das dass du in die andre Richtung gehst. Überlegs dir vielleicht einfach mal auf der Zahlengerade da sieht man das sofort...

Michael E.

While(true){} schrieb:

Ich denke es wurde einfach festgelegt, dass der Minusoperator überladen ist.

Überladen? Du kennst also zwei Bedeutungen des Minus? Da bin ich ja mal gespannt

Christoph

Michael E. schrieb:

While(true){} schrieb:

Ich denke es wurde einfach festgelegt, dass der Minusoperator überladen ist.

Überladen? Du kennst also zwei Bedeutungen des Minus? Da bin ich ja mal gespannt

Er meint wohl, dass man - sowohl für die einstellige Funktion "additives Inverses" als auch für die zweistellige Funktion "Subtraktion" verwendet. Das sind zwei verschiedene Funktionen.

Walli

Ich denke, das ist einfach die Konvention, dass man die neutralen Elemente der Addition (0+(-1)=-1), wie z.B. auch bei der Multiplikation (1*4=4), formal weglassen kann, oder? Ich sehe da keine zwei verschiedenen Bedeutungen des "-".

Christoph

Walli schrieb:

Ich denke, das ist einfach die Konvention, dass man die neutralen Elemente der Addition (0+(-1)=-1), wie z.B. auch bei der Multiplikation (1*4=4), formal weglassen kann, oder? Ich sehe da keine zwei verschiedenen Bedeutungen des "-".

Nein, das ist eigentlich keine Konvention. Das einstellige und zweistellige Minus sind mit bisher immer als zwei verschiedene Funktionen begegnet, wenn ich mich richtig erinnere. Außerhalb von Gebieten wie der Modelltheorie bzw. Logik ist diese Unterscheidung aber nicht ganz so relevant, deswegen wird die vermutlich oft unter den Tisch gekehrt.

dot

Die Unterscheidung gibts doch sogar in C++...

Christoph schrieb:

Walli schrieb:

Ich denke, das ist einfach die Konvention, dass man die neutralen Elemente der Addition (0+(-1)=-1), wie z.B. auch bei der Multiplikation (1*4=4), formal weglassen kann, oder? Ich sehe da keine zwei verschiedenen Bedeutungen des "-".

Nein, das ist eigentlich keine Konvention. Das einstellige und zweistellige Minus sind mit bisher immer als zwei verschiedene Funktionen begegnet, wenn ich mich richtig erinnere.

Ich weiß nicht genau, ob die "orthodoxe" Mathematik das einstellige "-" ausschließlich als Funktion bezeichnet. Aber meiner Ansicht nach, gehört es auch zu dem inversen Element selbst dazu, ist also nur eine praktische Schreibweise, das additiv Inverse von a (also -a) formal auszudrücken, so daß a+(-a)=0 ist. Ebenso könnte man festlegen, daß a+â=0. Oder nicht?

knivil schrieb:

ein gewisser Forenuser in 80% seiner Posts

Hast du nachgezaehlt? Ansonsten ist der Wert blanke Unterstellung.

Es sind sogar 93.86% deiner Posts in denen du nur Müll beiträgst.

Jester

Z schrieb:

Ich weiß nicht genau, ob die "orthodoxe" Mathematik das einstellige "-" ausschließlich als Funktion bezeichnet. Aber meiner Ansicht nach, gehört es auch zu dem inversen Element selbst dazu, ist also nur eine praktische Schreibweise, das additiv Inverse von a (also -a) formal auszudrücken, so daß a+(-a)=0 ist. Ebenso könnte man festlegen, daß a+â=0. Oder nicht?

Genau und ^ ordnet dann einem element genau sein inverses zu. Es ist also eine Funktion mit einem Argument.

Jester schrieb:

Z schrieb:

Ich weiß nicht genau, ob die "orthodoxe" Mathematik das einstellige "-" ausschließlich als Funktion bezeichnet. Aber meiner Ansicht nach, gehört es auch zu dem inversen Element selbst dazu, ist also nur eine praktische Schreibweise, das additiv Inverse von a (also -a) formal auszudrücken, so daß a+(-a)=0 ist. Ebenso könnte man festlegen, daß a+â=0. Oder nicht?

Genau und ^ ordnet dann einem element genau sein inverses zu. Es ist also eine Funktion mit einem Argument.

Naja, aber die Invertierfunktion muß doch nicht zwangsläufig der Bezeichnung des inversen Elements entsprechen. Sie kann auch z.B. inv() heißen.

Also wenn das additiv inverse Element von a â ist, dann ist inv(a)=â, so daß a+â=0, wie auch a+inv(a)=0 sind.

Das Zeichen ^ ist demnach keine Funktion, sondern bloß eine Konvention, das inverse Element zu kennzeichnen.

Ich weiß nicht, ob diese Trennung sinnvoll ist, aber denkbar wäre sie wohl.

Christoph

Z schrieb:

Naja, aber die Invertierfunktion muß doch nicht zwangsläufig der Bezeichnung des inversen Elements entsprechen. Sie kann auch z.B. inv() heißen.

Also wenn das additiv inverse Element von a â ist, dann ist inv(a)=â, so daß a+â=0, wie auch a+inv(a)=0 sind.

Das Zeichen ^ ist demnach keine Funktion, sondern bloß eine Konvention, das inverse Element zu kennzeichnen.

In dem Fall nennt man das Zeichen ^ tatsächlich "Funktion", denn es ordnet jedem gegebenen Wert genau einen anderen Wert zu.

Ich glaube ich verstehe, wo dein Problem liegt: Die ganzen Zahlen kannst du benennen mit 0, 1, -1, 2, -2, 3, und so weiter. Das Inverse Element von 1 hat dann den Namen "-1", deswegen sollte das Inverse Element von a den Namen -a bekommen.

Das geht aber aus verschiedenen Gründen nicht:

Nicht immer hat jedes Element hat einen hinschreibbaren Namen (Beispiel: Reelle Zahlen).
Wenn a = -1 ist, dann ist -a das additiv Inverse von a, obwohl -a = -(-1) ist und "-(-1)" != "1", wenn man das als string ansieht.

Christoph schrieb:

Ich glaube ich verstehe, wo dein Problem liegt: Die ganzen Zahlen kannst du benennen mit 0, 1, -1, 2, -2, 3, und so weiter. Das Inverse Element von 1 hat dann den Namen "-1", deswegen sollte das Inverse Element von a den Namen -a bekommen.

Ja, so meinte ich das.

Christoph schrieb:

Das geht aber aus verschiedenen Gründen nicht:

Nicht immer hat jedes Element hat einen hinschreibbaren Namen (Beispiel: Reelle Zahlen).

Wenn a = -1 ist, dann ist -a das additiv Inverse von a, obwohl -a = -(-1) ist und "-(-1)" != "1", wenn man das als string ansieht.

Gut, es ist also offensichtlich praktischer, inverse Elemente nicht separat zu benennen, sondern sie als Kombination der einstelligen Invertierfunktion und dem Element selbst hinzuschreiben. Danke!

kingcools

a-a = 0

*-1->

-a--a=0
--a = a

edit: dem folgend kann man natürlich bei
a*b, mit b und a < 0
die Minuszeichen rausziehen und obigen Beweis anwenden

Erklärung gesucht: Sinn der Definition &quot;- mal - = +&quot;

Erklärung gesucht: Sinn der Definition "- mal - = +"