4. Ableitung einer invertierten Matrix nach einer Variablen?

Ableitung einer invertierten Matrix nach einer Variablen?

  • O

    Hallo Leute 🙂

    Mein Wissen der linearen Algebra verlässt mich etwas, aber angenommen ich habe eine Matrix A mit Elementen:
    \(A_{ij}=f\_j(x\_i,w)\)
    wobei x_i Datenvektoren sind f_j eine differenzierbare Funktion und w ein frei wählbarer Parametervektor ist. A ist quadratisch und invertierbar.

    Gibt es dann eine Ableitung:\(\frac {\partial} {\partial w} \left( A^{-1}\right)_{ij}\) ?
    Die Inverse einer Matrix ist ja eine ziemlich frickelige Operation. Gibt es eine Möglichkeit, wie man das machen kann? Wenns komplizierter ist, reicht mir auch ein gescheiter Link oder ein Buchtipp völlig aus :).

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  • Y

    Man kann ja das Inverse darstellen als:

    (A^{-1})_{ij} = \operatorname{det}(A)^{-1} \operatorname{det}(A'_{ji})

    wobei $$A'_{ji}$$ die aus A enstehende Matrix ist, indem der ji-te Eintrag auf 1 und alle anderen Einträge in der j-ten Zeile oder i-ten Spalte auf 0 gesetzt werden. Und dann muss man im Prinzip noch eine rationale Funktion ableiten, das ganze furchtbar frickelig. Wenigstens ist die Differenzierbarkeit damit gezeigt 😉

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  • O

    Hmm. Du hast Recht. Das ist durchaus Ekelhaft, auch wenn du mir direkt nur soweit geholfen hast, als dass du das Problem auf die Ableitung der Determinanten reduziert hast ;). Abgesehen davon ist die Determinante von A' natürlich besonders arrglarrglarrgh! Da wäre ich ja im Best-Case bei Komplexität O(n^5) für den Gradienten...ne, dann ists doch einfacher, die Ableitung numerisch zu approximieren(was für Real-World probleme beriets viel zu langsam ist...). Schade. Kein Wunder, dass das was ich vor hatte noch nie jemand gemacht hat.

    Oder hat vielleicht noch jemand nen interessanten Taschenspielertrick?

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  • D

    0 = d/dw (A^-1(w) A(w)) = dA^-1/dw * A + A^-1 dA/dw

    Oder überseh ich was?

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  • O

    Hmm...das sieht gut aus...A^-1 dA/dw wäre sogar ziemlich gut berechenbar. Klingt gut 🙂

    //edit ne nicht ganz:

    \(\frac {\partial} {\partial w} A^{-1}= -A^{-1} \left( \frac {\partial} {\partial w}A \right) A^{-1} \)

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  • O

    Danke nochmal an alle. Hat mit der Matrix die ich Ableiten musste super geklappt(auch wenn die Ableitung sehr sehr sehr frickelig ist...)

    Insbesondere Danke an Daniel für den schönen Ansatz, damit konnte ich hinter mein Ergebnis sogar noch verifizieren. Wieder ein nützliches tool gelernt *in die mathematische Werkzeukiste pack*

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