Warum darf durch 0 nie geteilt werden?
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Eigentlich ist jede Gleichung umkehrbar, das heißt, dass man, egal wie man die Werte auf beiden Seiten umstellt, man immer wieder zum Ursprungszustand der Gleichung zurückkehren könnte.
Bei der 0 ist das nicht so: multipliziert man einmal mit 0, ist dies nicht umkehrbar!
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Fedaykin schrieb:
Na toll, da lassen Sie sich schon was einfallen mit dem man Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kann. Aber durch 0 kann man damit trotzdem nicht teilen.
Das ist nicht der Grund, warum einem die komplexen Zahlen eingefallen sind
Man hat einfach irgendwann festgestellt, dass man beim Lösen der Polynomgleichungen dritten Grades nicht weiterkommt, außer man lässt formal die Wurzel aus -1 zu. Dann rechnet man ein bisschen rum und am Ende hat man wieder reelle Zahlen. Es hat noch ein paar Jahrhunderte gedauert bis man allgemein akzeptiert hat, dass das eine neue Art von Zahlen ist, mit denen man ganz normal rechnen kann.
Zur Division durch 0 im Komplexen fällt mir jetzt die Riemannsche Zahlenkugel ein, aber da hab ich leider nur Halbwissen und will nichts falsches schreiben ...
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Die Riemansche Zahlenkugel bietet im Komplexen lediglich die Möglichkeit einen unendlich weit entfernten Punkt der komplexen Ebene darzustellen.
Das Problem mit der Division durch 0 wird dadurch nicht gelöst.
In vielen Fällen kann man auch durch 0 teilen, wenn man einen unbestimmten Ausdruck wie 0/0 als Grenzwert auffasst.Das Problem welches ich sehe bei 1/0 = ∞ ist dass man genauso gut sagen könnte 1/0 = -∞ nach der obigen Argumentation
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Mario Sandler schrieb:
Die Riemansche Zahlenkugel bietet im Komplexen lediglich die Möglichkeit einen unendlich weit entfernten Punkt der komplexen Ebene darzustellen.
Das Problem mit der Division durch 0 wird dadurch nicht gelöst.
In vielen Fällen kann man auch durch 0 teilen, wenn man einen unbestimmten Ausdruck wie 0/0 als Grenzwert auffasst.Das Problem welches ich sehe bei 1/0 = ∞ ist dass man genauso gut sagen könnte 1/0 = -∞ nach der obigen Argumentation
Auf der riemannschen Zahlenkugel gibt es nur ein unendlich. Da verwendet man dann auch gerne so eine Definition x/0 = unendlich. Es bleiben aber dennoch einige ausdrücke, in denen unendlich vorkommt, undefiniert.
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Eigentlich ist jede Gleichung umkehrbar, das heißt, dass man, egal wie man die Werte auf beiden Seiten umstellt, man immer wieder zum Ursprungszustand der Gleichung zurückkehren könnte.
Bei der 0 ist das nicht so: multipliziert man einmal mit 0, ist dies nicht umkehrbar!Haeh? Es gibt noch viele andere Umformungen, die keine aequivalenten Umformungen sind.
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In vielen Fällen kann man auch durch 0 teilen, wenn man einen unbestimmten Ausdruck wie 0/0 als Grenzwert auffasst.
Das halte ich für problematisch. Ein Grenzwert erreicht seinen eigentlichen Wert niemals, insofern teilt man nicht wirklich durch null. Insebsondere bei nicht stetig differenzierbaren Funktionen wird das sonst echt problematisch, wenn man linksseitige und rechtseitige Grenzwerte definiert (bzw. auch über Gruppen welche eine deratige Algebra bilden).
Das man nicht durch Null teilen kann hat vor allem den Grund der Eindeutigkeit. Eine Vorraussetzung für Gruppen in der Mathematik ist die Bedingung: es gibt nur eine Null. Wenn ich nach der Division durch Null ein Ergebniss bekäme, könnte ich auf diese Art verschiedene Nullen definieren.
Zum Thema Erweiterung der Zahlenräume um ein Ergebnis zu haben:
Bei der Erweiterung mit C musste man schon wesentliche Aspekte aufgeben, so zum Beispiel die Ordnung. Es lässt sich deshalb ziemlich gut zeigen, dass es keine mathematisch sinnvolle Erweiterung des Zahlenraums gibt.Zum Punkt warum darf man es nicht als unendlich definieren:
Das kann man sich recht gut veranschaulichen wenn man mal R um +∞ und -∞ erweitert und sich die Topologie dazu überlegt.
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Ein Grenzwert erreicht seinen eigentlichen Wert niemals
Manchmal schon, einfaches Beispiel ist die konstante Funktion f(x) = 5 oder:
$\lim\limits_{x \rightarrow 5}{x^2} = 25$Grenzwertbetrachtungen sind doch dafuer da, ein Ergebnis (wo man nicht genau weiss, was herausbekommt, wenn man die Stelle direkt einsetzt) im Falle von z.B. 0/0 bei Funktionen wie f(x) = x^3 / x^2 zu bekommen. Naiverweise wuerde man einfach kuerzen. Geht aber streng genommen nicht, da 0 eine Definitionsluecke ist, aber behebbar, was das Kuerzen rechtfertigt.
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knivil schrieb:
Haeh? Es gibt noch viele andere Umformungen, die keine aequivalenten Umformungen sind.
Zitat, Wikipedia: "Beim Rechnen mit reellen (oder komplexen) Zahlen ist es also nicht möglich, durch null zu dividieren, da diese Operation kein eindeutiges Ergebnis hätte: Die Multiplikation mit 0 ist nicht umkehrbar. Dies gilt allgemein für jeden Ring."
Ich wollte damit nur einfach und verständlich die Frage des Threads beantworten.
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@knivil
danke für den Hinweis, da ist mir ein Formulierungsfehler unterlaufen. Selbstverständlich wird der Grenzwert erreicht, meinte natürlich den Übergang.
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satanfreze schrieb:
Zitat, Wikipedia: "Beim Rechnen mit reellen (oder komplexen) Zahlen ist es also nicht möglich, durch null zu dividieren, da diese Operation kein eindeutiges Ergebnis hätte: Die Multiplikation mit 0 ist nicht umkehrbar. Dies gilt allgemein für jeden Ring."
Ich wollte damit nur einfach und verständlich die Frage des Threads beantworten.
Das ist aber böse formuliert in der Wikipedia, denn vor dem Doppelpunkt gehts drum, ob die Abbildung eine Funktion ist, und danach, ob die Abbildung bijektiv ist. Auf jeden Fall kann man es so, wie du es geschrieben hast, nicht stehen lassen, da das Wurzelziehen bei reellen Gleichungen zwar definiert, aber nicht umkehrbar ist.
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Man könnte doch das Unbestimmtheitsprinzip einführen wie in der Physik.
n/0 = ∞ oder n²/0 = ∞²
Damit gibt es nur noch drei Zahlen: 0 und 1 und ∞ (oder größer)