Wie erkennt man ein Binom in einer Gleichung mit Wurzel?
-
Normalerweise kennt man ja die typischen 3 binomischen Formeln und ihre Erkennungsmerkmale aus der Schule.
Also mit Klammer und nem Exponent nach folgendem Schema:
(a+b)²
oder
(a-b)²
oder
(a+b)*(a-b)Aber was, wenn diese
(a+b)², (a-b)², (a+b)*(a-b) typischen Erkennungsmuster gar nicht vorhanden sind, sondern das Binom ziemlich gut in einer Gleichung mit Wurzel versteckt ist?Wie z.B. in dieser Gleichung:
sqrt(60+4*x)+2*sqrt(x)=30
Diese Gleichung enthält mindestens ein Binom, sowie 2 weitere, je nach dem wie man weiterrechnet.
Aber keines davon ist so einfach ersichtlich, wie man es von früher aus der Schule gewohnt ist.Gibt's da irgendwelche Tricks um Binome als solche in derartigen Gleichungen zu entlarven?
-
Mathedau schrieb:
Gibt's da irgendwelche Tricks um Binome als solche in derartigen Gleichungen zu entlarven?
Scharf hinsehen.
-
Gibt's auch ernsthafte Vorschläge?
-
mein Mathe-Professor hat mal gesagt: durch 'intelligentes Probieren'.
Das Ganze ist ein Prozess von Mustererkennung und Kreativität. Man lernt es genauso wie ein Kleinkind lernt, einen Turm aus Bauklötzen zu bauen. Es spielt damit.
In diesem Fall heißt das, man muss mit den Ausdrücken spielen, z.B. einfach mal quadrieren oder mit dem konjugierten (heißt das so?) Term multiplizieren und einfach sehen, was dabei heraus kommt.
Und irgendwann kommt dann hoffentlich der geniale Gedanke.
ich gebe zu, ich habe auch ein paar Minuten gebraucht, bis ich es gesehen habe. Aber ich habe solche Gleichungen jahrelang nicht mehr gelöst.
Gruß
WernerPS.: x=49
-
Irgendein Kochrezept wird es dafür schon geben, denn CAS können das ja auch erkennen. Ich kenne dieses Rezept jedoch nicht, da ich bisher auch nur die Hinguckmethode gelernt und angewandt habe.
-
Das da:
sqrt(60+4*x)+2*sqrt(x)=30wird durch Quadrieren ja zu:
(sqrt(60+4*x)+2*sqrt(x))^2 = 30^2Da steckt dann schon das Binom drin.
Zum Verständnis kann man z.B. diesen einfachen Vergleich nehmen:
sqrt(9)+sqrt(9) = 3 + 3 = 6Rechnet man das nun über die binomische Formel aus, dann gibt das folgendes, ich mach es mal ausführlich:
sqrt(9)+sqrt(9) = 6 // quadrieren
(sqrt(9) + sqrt(9))^2 = 6^2 // und nun hat man im Term vor dem = auch schon das Binom. Die binomsche Formel kann also angewendet werden3^2 + 2*sqrt(9)*sqrt(9) + 3^2 = 36
9 + 2*sqrt(9*9) + 9 = 36
9 + 2sqrt(81) + 9 = 36
9 + 29 + 9 = 36
36 = 36 // Das quadrieren kann man nun jetzt noch rückgängig machen und erhält:
sqrt(36) = sqrt(36)
6 = 6
-
'Intelligentes hinsehen' heisst bei normalen quadratischen Gleichungen, die nicht ins binomi-Schema passen, wahlweise "Satz des Vieta" oder "Mitternachtsformel"
Entsprechende Hilfen gibte es auch für Polynome höherer Ordnung, aber ab 4ter Ordnung werden die Gleichungen Wände-füllend.
-
Und ab fünfter gibt's gar keine Formeln mehr, die mit Wurzeln und Grundrechenarten auskommen...
-
Ich weiß nicht, ob diese Aufgabe ein Binom enthält. Hier war meine Lösungsstrategie wie folgt:
1. Schritt:
mit sqrt(60+4*x)-2*sqrt(x) multiplizieren und kürzen2. Schritt jetzt haben wir 2 fast identische Gleichungen, die sich nur durch ein "+" unterscheiden. Deswegen ziehe ich einfach die Gleichung aus Schritt 1 von der ursprünglichen ab und erhalte die Lösung.
Die Frage war für mich nicht: "wie finde ich das Binom", sondern einfach: "wie löse ich die Gleichung". Und da gibts halt nichts hilfreicheres als: entwickel eine Intuition, wie du das lösen kannst. Fange mit leichten Problemen an und arbeite dich immer weiter zu den komplizierten vor. Es gibt da kein System, das man befolgen kann. Zumindest habe ich keines.
Die andere Sache ist, dass man sich immer Tricks von anderen abschaut. Wenn man viele Tricks kennt, kann man viele Probleme durch hinsehen lösen. Man hangelt sich von einem Trick zum nächsten, bis das Problem gelöst ist.
