4. Summen ohne Taschenrechner

Summen ohne Taschenrechner

  • ?

    Man kann die Summe mit i rausziehen. Sie ist 0. Also ist alles 0.

    Man kann sich aber auch blöd anstellen....

    0
  • ?

    Ich brauche zum Summen keinen Taschenrechner. Mir reicht dafür mein Mund und eine nette Melodie. 😉

    *SCNR*

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  • S

    gut...

    ∑m=26∑n=039(mn−2m−4)\sum_{m=2}^{6} \sum_{n=0}^{39}(mn-2m-4)

    Auch das kann man ja auseinander ziehen. Nach welchen Regeln ist das möglich?
    Und dann muss ich ja iwie die Summe von 0 bis 39 durchrechnen können ohne sie in den Taschenrechner eingeben zu müssen, oder?!

    0
  • Mod

    Im Kopf hier im Formular gerechnet, keine Garantien für Richtigkeit:

    \sum_{m=2}^{6} \sum_{n=0}^{39}(mn-2m-4) = \sum_{m=2}^{6} (80m - 160 + \sum_{n=0}^{39}mn)$$Da 2m und 4 unabhängig von n sind, kann man sie vor die Summe ziehen. Da sie 40 mal in der hinteren Summe stehen, muss man sie natürlich mal 40 nehmen. Für die Summe über n greift nun der kleine Gauß, zuvor dürfen wir natürlich den Faktor m herausziehen. Danach ein bisschen zusammenfassen: $$\sum_{m=2}^{6} (80m - 160 + \sum_{n=0}^{39}mn) = \sum_{m=2}^{6} (80m - 160 + m \sum_{n=0}^{39}n) = \sum_{m=2}^{6} (80m - 160 + m \frac{39\cdot40}{2})= \sum_{m=2}^{6} (80m - 160 + 780 m)= \sum_{m=2}^{6} (860m - 160)

    Der Faktor 160 wird 5 mal abgezogen, wir können also gleich 800 abziehen. Ebenso wird m immer mit 860 multipliziert, welches wir daher rausziehen können:

    \sum_{m=2}^{6} (860m - 160)=-800+860\sum_{m=2}^{6}m$$Und die Summe 2 bis 6 von m bekommen wir auch im Kopf hin, ohne Taschenrechner. Meinetwegen auch mit dem kleinen Gauß und dann die fehlende 1 abziehen: $$-800+860\sum_{m=2}^{6} = -800+860 \cdot(21-1)= -800+17 200=16400

    Ich bin jetzt etwas überrascht, dass so ein krummes Ergebnis rauskommt, vermutlich habe ich irgendwo einen kleinen Rechenfehler. Die Grundlegenden Schritte bleiben aber die gleichen. Da ich hier sehr ins Detail gegangen bin, vermute ich mal, dass jeder Einzelschritt vollkommen klar ist. Falls nicht, frag nochmal nach. Und wenn du meinen vermuteten Rechenfehler findest, sag Bescheid.

    edit: Der Taschenrechner sagt 13200. Also definitiv irgendwo ein dummer Rechenfehler. Immerhin zwingt dich dies dazu, über deine Hausaufgabe(?) gründlich nachzudenken.

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  • X

    @SeppJ
    Ich seh da in der ersten Umformung einen Vorzeichenfehler: Aus -2m wird 80m beim Rausziehen aus der inneren Summe.

    Ich würde das ganze ein klein bisschen anders angehen:

    ∑m=26∑n=039(mn−2m−4)=∑m=26m⋅(∑n=039n−2)−∑m=26∑n=0394\sum_{m=2}^6 \sum_{n=0}^{39} ( mn - 2m -4) = \sum_{m=2}^6 m \cdot \left( \sum_{n=0}^{39} n-2 \right) - \sum_{m=2}^6 \sum_{n=0}^{39} 4

    Die innere Summe lässt sich mit dem kleinen Gauß lösen, die äußere (über m) ebenfalls. Die Doppelsumme ganz rechts ist auch nur Kopfrechnen. Ich bin auf dem Weg auch auf 13200 gekommen.

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  • S

    @SeppJ

    Ich hab es verstanden. Den kleinen Gauß kannte ich vorher nicht. Jetzt habe ich verstanden wie das ohne Taschenrechner geht 🙂
    Das ist keine Hausaufgabe. In der FH gibts bei uns keine Hausaufgaben. Aber morgen früh um 10:30 ist Matheklausur. Dafür brauchen wir das. Da ich das im Abi hätte haben sollen, wurde das in den Vorlesungen nicht gemacht.
    Da ich mein Fachabi aber während meiner ET-Ausbildung gemacht habe, kam das nicht vor und ich muss das jetzt nach lernen!

    @Xul
    Das was du da machst finde ich interessant, verstehe aber nicht auf welcher Regel das basiert. Vllt könntest du das noch erklären?

    @All

    Noch mal zum kleinern Gauß

    ∑y=20100(y)\sum_{y=20}^{100}(y)

    kann ich da jetzt

    \frac{100\*101}{2} - \frac{19\*20}{2}

    machen?

    EDIT:
    Gilt der auch für negaive Summen?
    also von -10 bis -4?
    Wenn ja dann mit (-10 * -3) / 2
    Und muss in diesem fall die 0 als summe mit eingerechnet werden?
    Also bei -10 bis 0 dann (-10 * 1) / 2?

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  • Mod

    Sqwan schrieb:

    kann ich da jetzt

    \frac{100\*101}{2} - \frac{19\*20}{2}

    machen?

    Klar.

    EDIT:
    Gilt der auch für negaive Summen?
    also von -10 bis -4?
    Wenn ja dann mit (-10 * -3) / 2

    Denk da nochmal drüber nach, da stimmt noch was nicht. ⚠ Niemals blind Formeln benutzen ohne sie zu verstehen! Aber: Ja, es ist auch möglich dies für negative Summen zu formulieren. Sogar ganz ganz einfach. Tipp: Klammer mal ein (-1) aus.

    Und muss in diesem fall die 0 als summe mit eingerechnet werden?
    Also bei -10 bis 0 dann (-10 * 1) / 2?

    😮 Wieviel trägt denn wohl eine 0 zu einer Summe bei?

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  • S

    SeppJ schrieb:

    Sqwan schrieb:

    kann ich da jetzt

    \frac{100\*101}{2} - \frac{19\*20}{2}

    machen?

    Klar.

    EDIT:
    Gilt der auch für negaive Summen?
    also von -10 bis -4?
    Wenn ja dann mit (-10 * -3) / 2

    Denk da nochmal drüber nach, da stimmt noch was nicht. ⚠ Niemals blind Formeln benutzen ohne sie zu verstehen! Aber: Ja, es ist auch möglich dies für negative Summen zu formulieren. Sogar ganz ganz einfach. Tipp: Klammer mal ein (-1) aus.

    Und muss in diesem fall die 0 als summe mit eingerechnet werden?
    Also bei -10 bis 0 dann (-10 * 1) / 2?

    😮 Wieviel trägt denn wohl eine 0 zu einer Summe bei?

    So ... sehr schön 🙂
    bei -10 bis -4 kann ich die summe von 4 bis 10 bilden und diese mal -1 rechnen...

    Die 0 trägt zur umme nichts bei. Im positiven war mir das klar. Im negativen wusste ich nicht genau wie das dann mit dem n+1 aussieht. Jetzt ists aber klar... bei einer summe von -5 bis 20 haben sich ja die -5 bis +5 auf?!?! Wenn ich alles richtig verstanden habe und auch richtig eingesetzt müsste ich das auch in summe von 6 bis 20 ändern können oder?

    EDIT... kleine Frage noch... wenn ich die Schritte von -5 bis 5 zähle sind das 11 oder? Also die 0 zähle ich mit obwohl sie auf die Summe in der Regel keinen einfluss hat?!

    0
  • Mod

    Alles korrekt.

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  • S

    Dank dir sehr!

    0
  • X

    Ok, da es gewünscht wurde versuch ich meine Umformungen mal zu erklären. Was ich im wesentlichen benutzt habe war die Tatsache, dass man Summen aufsplitten kann, also

    ∑μ=nm(aμ+bμ)=(∑μ=nmaμ)+(∑μ=nmbμ)\sum_{\mu=n}^m ( a_\mu + b_\mu ) = \left( \sum_{\mu=n}^m a_\mu \right) + \left( \sum_{\mu=n}^m b_\mu \right )

    Wendet man dies auf deine innere Summe an, so erhält man

    ∑n=039(mn−2m−4)=∑n=039(mn−2m)−∑n=0394\sum_{n=0}^{39} ( mn - 2m - 4 ) = \sum_{n=0}^{39} ( mn - 2m ) - \sum_{n=0}^{39} 4

    Zusammen mit dieser Umformung können wir jetzt auch die äußere Summe aufsplitten. Das gibt:

    ∑m=26∑n=039(mn−2m−4)=∑m=26(∑n=039(mn−2m))−∑m=26∑n=0394\sum_{m=2}^6 \sum_{n=0}^{39} ( mn - 2m - 4 ) = \sum_{m=2}^6 \left( \sum_{n=0}^{39} ( mn - 2m ) \right) - \sum_{m=2}^6 \sum_{n=0}^{39} 4

    Zu guter letzt können wir aus $$\sum_{n=0}^{39} ( mn -2m ) $$ noch das $$m$$ ausklammern und erhalten schließlich

    ∑m=26∑n=039(mn−2m−4)=∑m=26m⋅∑n=039(n−2)−∑m=26∑n=0394\sum_{m=2}^6 \sum_{n=0}^{39} ( mn -2m -4 ) = \sum_{m=2}^6 m \cdot \sum_{n=0}^{39} ( n-2 ) - \sum_{m=2}^6 \sum_{n=0}^{39} 4

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