Nicht-Mathematikern erklären, was ein endlicher Körper ist.

NOWAI schrieb:

testperson7 schrieb:

Z/p ist zwar ein endlicher körper aber Z/12 nicht

Das sind Restklassenmengen,die auch abgeschlossen sein können in (.,+).

In Z/p gibt es keine xy=0 und ist daher auch ein körper.
In Z/12 gibt es aber xy=0 und ist damit kein körper.

ORLY

Was bedeutet ORLY? :p

ach, wirklich?

knivil

Aber ich finde es schon erstaunlich, dass sich zu den endlichen Körpern noch keine geeignete Erklärung gefunden hat.

Ich dachte, es geht um das wie, nicht um das was ...

otze

Nick Unbekannt schrieb:

Und woran liegts? Keine Lust oder keine Ahnung wie?

Das war einfach nicht die Frage. Der Threadstarter hat nicht gefragt, was das ist, sondern wie er es erklären kann. Und wundersamerweise hat er im zweiten satz schon das Paradebeispiel für endliche Körper gebracht: Die Uhrzeit! Und nun überlegst du dir, was der größte Unterschied zwischen einer Uhrzeit und den ganzen zahlen ist, und dann hast du es.

Tipp: 1,2,3,...,58,59,60,1,2,3,...,58,59,60,1,2,3,...

Endliche Körper in unter 2 Minuten!

Ich gebe ja zu mir keine große Mühe dabei gegeben zu haben.

Und schon können wir dein Problem exakt einkreisen

Nick Unbekannt

Moment nicht so schnell. Das ist jetzt Z/60, richtig? Warum kommt da die 60 vor und nicht die 0?

Biolunar

Wie das neutrale Element genannt wird ist egal, üblich ist halt 0 und nicht 60. Abgesehen davon ist $$ $\mathbb{Z}/60$ $$ kein Körper.

Nick Unbekannt

Biolunar schrieb:

Wie das neutrale Element genannt wird ist egal, üblich ist halt 0 und nicht 60.

Ich dachte das wären nur die möglichen Werte für Z modulo 60 ? Was ja dann als 0 definiert wäre, 60 modulo 60 => 0.

Biolunar schrieb:

Abgesehen davon ist $$ $\mathbb{Z}/60$ $$ kein Körper.

Sprich es ist noch nicht erklärt was ein endlicher Körper ist?

Biolunar

Nick Unbekannt schrieb:

Biolunar schrieb:

Wie das neutrale Element genannt wird ist egal, üblich ist halt 0 und nicht 60.

Ich dachte das wären nur die möglichen Werte für Z modulo 60 ? Was ja dann als 0 definiert wäre, 60 modulo 60 => 0.

So ist es. 0 und 60 sind beides Repräsentanten der selben Äquivalenzklasse, also auf Nicht-mathe-isch: Es sind die selben Zahlen.

Nick Unbekannt schrieb:

Sprich es ist noch nicht erklärt was ein endlicher Körper ist?

So wie ich den Thread verstanden habe ging es nicht darum zu erklären was das ist, sondern wie man es erklärt. Ich frage mal direkt: Möchtest du wissen was ein endlicher Körper ist?

life

Ein (endlicher) Körper ist ein mathematisches Konstrukt und sollte damit imho auch entsprechend mathematisch erläutert werden. Restklassen etc. sind dann nur Beispiele für endliche Körper, die man zur Verdeutlichung dazu fügen kann.

Ein Grundschüler muss also genau wenig wissen, was ein Körper ist, wie Nick das wissen muss.

Nick Unbekannt

Biolunar schrieb:

So ist es. 0 und 60 sind beides Repräsentanten der selben Äquivalenzklasse, also auf Nicht-mathe-isch: Es sind die selben Zahlen.

Das hätte ich jetzt auch ohne Beisatz verstanden.

Biolunar schrieb:

So wie ich den Thread verstanden habe ging es nicht darum zu erklären was das ist, sondern wie man es erklärt.

Ja und ich hatte mich aus der Sicht des Mathe-DAUs zu Wort gemeldet.

Biolunar schrieb:

Ich frage mal direkt: Möchtest du wissen was ein endlicher Körper ist?

Ursprünglich ehrlich gesagt nicht. Nur hat man mir meine Neugier geweckt und will auch nicht dumm sterben. Falls jemand Lust hat es zu erläutern hat er zumindest einen Leser. Wir können es aber auch einfach soweit belassen.
Was aber interessant wäre, wozu braucht man das überhaupt?

Biolunar

Ich stimme life zwar voll zu, aber was solls:
Der erste Satz auf Wikipedia ist eigentlich das, was ich grad schreiben wollte

Grml, ich hab jetzt geschlagene 5 Minuten versucht hier noch was anderes aufzuschreiben, was keine Fachkenntnis voraussetzt. Erfolglos.

Edit:
Stell dir vor: einige "Regeln" setzen voraus, dass man dividieren kann. Diese Regeln können jetzt nicht für $$ $\mathbb{Z}$ $$ gelten, da Division eine Operation im Körper ist und $$ $\mathbb{Z}$ $$ nur ein Ring ist. (Und zack, schon wieder ein Fachwort...)
Wenn man sowelche "Regeln" aufstellt, setzt man so wenig wie möglich voraus.
Beispiel: Du willst nen Nagel in die Wand hauen. Was brauchst du? Einen Hammer. Dabei ist es egal, ob es ein SuperHammerMaster500 ist, der nebenbei auch noch grillen kann, oder der ottonormal Hammer ist.
So ist es auch mit den definitionen dieser Strukturen. Wenn ich nur Ringoperationen brauche, wieso sollte ich einen Körper voraussetzen?

otze

Nick Unbekannt schrieb:

Biolunar schrieb:

Abgesehen davon ist $$ $\mathbb{Z}/60$ $$ kein Körper.

Sprich es ist noch nicht erklärt was ein endlicher Körper ist?

Richtig. Und damit kommen wir auf deine p Frage.

Ein Körper wird nicht nur über seine Zahlen, sondern auch durch die durchführbaren Operationen definiert. Ein Körper bietet dabei immer 2 Operationen an, ich nenne sie mal + und , und diese Operationen Verhalten sich genauso wie die Operationen "+" und "" bei den reellen Zahlen (müssen aber mitnichten das Selbe sein. Deswegen sieht man oft auch eine andere Notation für diese Operationen). Also ganz dumm ausgedrückt: alles wo man so rechnen kann wie mit den reellen Zahlen ist ein Körper.

In unserem Fall ist + ähnlich definiert, wie bei den Reellen zahlen, nur dass wir statt "a+b" "a+b mod n" als Operation haben, wobei N bei mir im Beispiel 60 war. also 55+10≡5 mod 60. (≡ ist fast das Selbe wie = nur komplett anders). Eine wichtige Operation ist dabei die "Inverse". Wenn wir "a+b=c" rechnen können, dann muss es eine Zahl "-b" geben, so dass "c + (-b) = a". Sieht komisch aus, ist aber so. Beispiel: b =5. in Z/60 ist -b=55, da b+(-b)= 5+55≡ 0 mod 60. Das ist zum Beispiel bei den natürlichen Zahlen anders: wir haben keine negativen Zahlen und können auch nicht wrappen Also sind die natürlichen zahlen kein Körper :(.

Bei der Addition passt das alles wunderbar. Und bei der Multiplikation?

103≡30 mod 60
104≡40 mod 60
105≡50 mod 60
106≡0 mod 60 oops!

daraus folgt: 6^-1 ≡ 10/0 mod 60. Akuter divided by zero Fehler!

Deswegen ist Z/60 kein Körper, weil nicht jedes Element ein Inverses hat. Es gibt noch ein paar mehr dieser Regeln: Kommutativität, distributivität und Assoziativität sollten auch erfüllt sein. Aber wir steigen ja weit vorher aus.
Ein Gegenbeispiel aus normalen Körpern sind zum Beispiel die ganzen zahlen. Die kennen anders als die natürlichen zahlen die negativen Werte, aber was ist das Inverse von a*5? 5^-1 ist rational.

Das coole ist nun, dass wenn wir eine Primzahl p wählen, wir nicht mehr in diese Misere kommen. Und da unsere Operatoren so toll ähnlich zu den Operationen auf den reellen Zahlen sind, ist (Z\p,+,*) ein endlicher Körper!

Ein Mathematiker würde dir das in einem Satz erklären:
"(Z/p,,+) ist ein Körper, weil wir die abelschen Gruppen (Z/p,) und (Z/p\{0},+) haben und (+,*) das Distributivitätsgsetz erfüllen".
Hilft dir zwar nicht viel weiter, aber dafür gehts in nur 10 Sekunden.

Nick Unbekannt

Das was otze geschrieben hat ist durchaus verständlich und nachvollziehbar geschrieben. Und hat noch nebenbei einige der Fragen geklärt die beim Wikipedia-Artikel zusätzlich aufgekommen sind.

Kommutativität, distributivität und Assoziativität sollten auch erfüllt sein. Aber wir steigen ja weit vorher aus.

Das kann man gerade noch auch von einem Nichtmathematiker erwarten. Vielleicht nicht die Begriffe, aber was sich dahinter verbirgt.

Ich habe aber den Eindruck, dass die endlichen Körper außer zur Definition zu nichts zu gebrauchen sind. Also nur für den Mathematiker wichtig sind.

knivil

Einige moderne Verschluesselungsalgorithmen basieren darauf ... ist eigentlich nicht der Rede wert.

otze

Nick Unbekannt schrieb:

Ich habe aber den Eindruck, dass die endlichen Körper außer zur Definition zu nichts zu gebrauchen sind. Also nur für den Mathematiker wichtig sind.

Du hast also den Eindruck. Soso. das sagst du natürlich, weil du dich sehr lange damit beschäftigt hast, hm?

knivil schrieb:

Einige moderne Verschluesselungsalgorithmen basieren darauf ... ist eigentlich nicht der Rede wert.

alles basiert darauf

knivil

testperson7 schrieb:

alles basiert darauf

Aber ueber alles kann man nicht reden und muss folglich schweigen. Deswegen wollte ich etwas greifbares anfuehren ... in http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptic_Curve_Cryptography wird sehr haeufig endlicher Koerper geschrieben ...

knivil schrieb:

testperson7 schrieb:

alles basiert darauf

Aber ueber alles kann man nicht reden und muss folglich schweigen. Deswegen wollte ich etwas greifbares anfuehren ... in http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptic_Curve_Cryptography wird sehr haeufig endlicher Koerper geschrieben ...

Du hast mich schon verstanden

Wollte erst schreiben, das eigentlich jede digitale information darauf basiert.
Aber dann befürchtet, das der "Nick" dann fragt was das denn sei

Zeus

testperson7 schrieb:

knivil schrieb:

testperson7 schrieb:

alles basiert darauf

Aber ueber alles kann man nicht reden und muss folglich schweigen. Deswegen wollte ich etwas greifbares anfuehren ... in http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptic_Curve_Cryptography wird sehr haeufig endlicher Koerper geschrieben ...

Du hast mich schon verstanden

Wollte erst schreiben, das eigentlich jede digitale information darauf basiert.
Aber dann befürchtet, das der "Nick" dann fragt was das denn sei

Also sind Bits endliche Körper?

knivil

Zeus schrieb:

Also sind Bits endliche Körper?

Nein, es fehlen noch zwei Operationen mit den genannten Eigenschaften. Bei einem Koerper handelt es sich immer um eine Menge + 2 Operationen ...