Restklassen, Gruppe?
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Hallo!
Satz: $p\in\mathbb{N}$ ist Primzahl. Dann gilt $(\mathbb{Z}_{p}\setminus\left\{ [0]_{p}\right\} ,\odot)$ ist eine abelsche Gruppe der Ordnung $p-1$ Verknüpfung $\odot:\,\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p}\rightarrow\mathbb{Z}_{p}$ mit $[a]_{m}\odot[b]_{m}=[a\cdot b]_{m}$
Ich habe eine Frage...folgendes:Jetzt geht es nicht um den Satz an sich, sondern um ein Beispiel für eine Restklasse, die keine Gruppe ist:
$(\mathbb{Z}_{4}\setminus\left\{ 0\right\} ,\odot)$ ist keine Gruppe, weil: $[2]_{4}\odot[2]_{4}=[4]_{4}=[0]_{4}\qquad\notin\mathbb{Z}_{4}\setminus\left\{ 0\right\} $Die Argumentation ist mir nicht ganz klar. Natürlich hat 4 geteilt durch 4 den Rest 0 und dementsprechend äquivalent zum letzten Ausdruck...ABER:
Ist die Menge $$(\mathbb{Z}{4}\setminus\left{ 0\right} ,\odot)$$ nicht die leere Menge? Immerhin schließe ich alle Zahlen aus, die den Rest 0 haben, welche ja auch genau die Zahlen sind, die den Rest 4 haben.
Die Zahlenmengen $$\mathbb{Z}{4}$$ und die leere Menge stimmen dann doch genau überein, oder?Kann mir das jemand erklären?
Mit freundlichsten Grüßen,
Informatik-Erstsemester
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die Begründung ist eher, daß 2 in Z_4 kein multiplikatives Inverses hat, weil in Z_4 2*0=0, 2*1=2, 2*2=0, 2*3=2 ist.
Z_4 ist nicht die leere Menge, sondern es ist diejenige Menge, die aus Z entsteht, wenn man stets anstelle der Zahl n mit demjenigen Rest rechnet, den n beim Teilen durch 4 übrig läßt. Also 4~0, 5~1, 6~2, 7~3 usw. Man rechnet "modulo 4".
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Irgendwie ist mir das alles ganz klar und verstehe gerad nicht genau, wo vorher mein Problem lag...echt seltsam, weil ich das schon seit ein paar Tagen mit mir rumschleppe.
Ich denke, dass ich mir nicht ganz klar verbildlicht hab, welche Zahlen jetzt eigtl in der Menge sind und welche nicht.
Der Thread kann geschlossen werden...danke an !rr!rr
Grüße
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a) Deine Notation ist arg daneben Z_4 \ {0} ist ungleich Z_4 \ [0]_4
b) Alle Zahlen auszuschliessen die mod 4 == 0 sind, bedeutet das z.B. die 3 noch enthalten ist. => keine leere Menge.
c) 4 ist keine Primzahl, einleitender Satz und Fragestellung haben irgendwie nichts miteinander zu tun.
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knivil schrieb:
a) Deine Notation ist arg daneben Z_4 \ {0} ist ungleich Z_4 \ [0]_4
b) Alle Zahlen auszuschliessen die mod 4 == 0 sind, bedeutet das z.B. die 3 noch enthalten ist. => keine leere Menge.
c) 4 ist keine Primzahl, einleitender Satz und Fragestellung haben irgendwie nichts miteinander zu tun.zu a) Das hat der Professor so angeschrieben, hatte mich aber auch zu erst irritiert...nur als Erstsemester glaubt man alles, was der Prof so sagt
(also ist 0 != [0]_4?)
zu b) stimmt
zu c) Es kam erst das Beispiel und dann der Satz. Dabei handelt es sich um ein Gegenbeispiel, bei dem der Index natürlich keine Primzahl ist. Den Satz hätte ich allerdings hier nicht unbedingt posten müssen...dachte nur es wird dann klarer um welchen Themenbereich es gehtGrüße
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Vergiss a)
Ich hab nicht aufgepasst, der Prof hat [0]_4 geschrieben
Danke und Grüße
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knivil schrieb:
a) Deine Notation ist arg daneben Z_4 \ {0} ist ungleich Z_4 \ [0]_4
Da finde ich Z_4 \ [0]_4 aber deutlich unangenehmer. Wenn schon dann Z_4 \ {[0]_4} und da das ziemlich viel Notation ist finde ich durchaus auch Z_4 \ {0} angemessen. Schließlich lässt sich die 0 kanonisch auf ein Element aus Z_4 abbilden.