4. Tangente an Graph der Funktion x^2

Tangente an Graph der Funktion x^2

  • S

    Hi,

    Ich will vom Punkt p(2|1) eine Tangente an den Graph der Funktion x^2 legen:

    f'(x) = f(x) - Py
    -----------
    x - Px

    Diese Formel habe ich gefunden.

    f'(x) = 2x
    Py = 1
    Px = 2

    Eingesetzt ergibt das:

    2x = (x²-1):(x-2)
    2x*(x-2) = (x²-1)

    2x² - 2x - x² + 1 = 0
    x² - 2x + 1 = 0

    PQ-Formel:

    x1/2 = 1 +- Wurzel(0) = +-1

    t(x) = mx + b
    1 = 1*2 + b
    b = -1

    Dann wäre die Tangente:

    t(x) = x - 1

    , aber leider ist das nicht richtig 😮
    Das Ding schneidet den die Funktion noch nichtmals.

    Kann mir jemand verraten, wo der Fehler steckt ?

    Danke,
    Schnurres

    0
  • ?

    Die gesuchte Tangente hat die Form

    y = m*x + b

    mit unbekannten m und b.

    Sei (x_0|x_0^2) Berührpunkt der Tangente auf der Kurve (kann zwei davon geben, s.u.)

    Anforderungen an m und b:

    a) 1 = m*2+b (weil: Punkt (2|1) soll auf der Graden liegen)

    b) x_0^2 = m*x_0+b (weil: Punkt (x_0|x_0^2) soll auf der Geraden liegen)

    c) m = 2x_0 (weil: Steigung der Tangente == Steigung der Kurve im Berührpunkt)

    Auflösen:

    c) in b) => x_0^2 = 2x_0^2+b => b = -x_0^2

    a) 1 = 4x_0+b = 4x_0-x_0^2 => x_0^2-4x_0+1=0

    => x_0 = 2 +/- sqrt(3)

    => m = 4 +/- 2sqrt(3)

    => b = 1-2m = -7 -/+ 4sqrt(3)

    [falls Rechenfehler dabei sind: sorry 🙂 hab mir jedenfalls Mühe gegeben]

    0
  • W

    Formel für die Tangente an der Stelle s:
    t(x) = f'(s) * (x - s) + f(s)

    0
  • Z

    !rr!rr_. schrieb:

    => x_0 = 2 +/- sqrt(3)

    hmmm,... weiß nicht, müsste doch minus plus sein oder???

    o.B.d.A. gilt:

    f′(x)⋅x+n=x2(=y)f'(x)\cdot x+ n=x^2\,\,(=y)

    und da

    f'(x)=\partial\_xf(x)=\partial\_xx^2=2\cdot x\newline\Rightarrow 2x^2+n=x^2\newline\Rightarrow n=-x^2

    Also folgt:

    f'(x)\cdot x-x^2=y$$ wobei $$f'(x):=m(x)$$ die monotonie der tangente an stelle x ist. Wir haben also zwo gleichungen: $$\begin{matrix} f'(x\_1)\cdot x\_1&-&x\_1^2&=&y\_1\\ f'(x\_1)\cdot\underbrace{x\_2}_{:=2}&-&x\_1^2&=&\underbrace{y\_2}_{:=1}\end{matrix}

    Da $$y_1=x_1^2$$ brauchen wir also nur die letzte gleichung nach $$x_1$$ auflösen...

    f'(x\_1)\cdot 2-x\_1^2-1=0\newline 2\cdot x\_1\cdot 2-x\_1^2-1=0\newline -1\cdot x\_1^2+4\cdot x\_1-1=0

    x1,2=−42⋅(−1)±16−4⋅(−1)⋅(−1)2⋅(−1)=2±122⋅(−1)=2∓122=2∓3x_{1,2}=\frac{-4}{2\cdot (-1)} \pm \frac{\sqrt{16-4\cdot (-1)\cdot (-1)}}{2\cdot (-1)}=2\pm \frac{\sqrt{12}}{2\cdot (-1)}=2 \mp \frac{\sqrt{12}}{2}=2\mp \sqrt{3}

    siehste was ick meine?

    grüüüüße

    0
  • F

    GUten Morgen. Ich bin zwar kein Mathematiker und auch die Schule liegt schon etwas zurück. Aber ich denke die allgmeine Form einer Geraden (und somit auch deiner Tangente) ist : y = mx + n. m ist hier der Anstieg in deinem Punkt. Den Anstieg erhälst du mit der ersten Ableitung deiner Funktion:
    f(x) = x^2. f'(x) = 2    x.
    Somit ist der Anstieg im Punkt 2|1 :
    f'(2) = 2 * 2 = 4.

    Jetzt wissen wir schon das deine Tangente in etwa so aussehen muss :
    y = 4x + n. Nun setzten wir einfach deinen Punk ein, denn er leigt ja aucf der Geraden und muss diese Gleichung ja erfüllen . Also :
    1 = 4    2 + n. Nach n aufgelöst : n = 1 / 8
    Somit ist deine Tangente : f(x) = 4*x + (1/8).
    Hoffe das hat dir geholfen

    0
  • L

    schnurres schrieb:

    Ich will vom Punkt p(2|1) eine Tangente an den Graph der Funktion x^2 legen:

    Fischkopf2009 schrieb:

    Somit ist deine Tangente : f(x) = 4*x + (1/8).

    Mal kurz überprüfen. Vom Punkt P(2|1) heisst, die Tangente muss durch diesen Punkt gehen (eigentlich sollte f(2)=1 sein):
    f(2)=4*2+(1/8)=8.125
    das ist ungleich 1 und deshalb ist diese Lösung falsch. Die richtige Lösung wurde ja schon gegeben.

    0
Anmelden zum Antworten