4. Konstanten dürfen nicht selbes Objekt referenzieren als 1stOL darstellen

Konstanten dürfen nicht selbes Objekt referenzieren als 1stOL darstellen

  • B

    zeusosc schrieb:

    Erst sagst Du das $$\mathbb{M}$$ keine Menge ist,
    und nun das $$\mathbb{M}=\mathbb{D}$$ ist.

    M=D, aber knivil != Bashar 😃

    Diese beiden Mengen haben eine andere Anzahl an elementen.
    Wobei $$\mathbb{M}$$ eine Multimenge ist.

    Es gibt zwei Möglichkeiten:

    1. Es sind Mengen, dann sind sie gleich.
    2. Es sind Multimengen, dann sind sie ungleich.
      Sidewinder spricht von Mengen. Wenn er es anders meint, soll er sich nochmal melden. Bis dahin sollten wir die Spekulationen und insbesondere die gegenseitigen Belehrungen über absolute Basics sein lassen.
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  • Z

    @Knivil:

    Ok, die CANTOR'sche formulierung lasse ich mal gelten,... 🕶

    um das zukünftig zu differenzieren werde ich mich dann auch mal an die nomenklatur:

    Um Multimengen von normalen Mengen zu unterscheiden, wird gewöhnlich bei ihrer Aufzählung ein kleines b\small b als Index angegeben.

    Beispiel: $${x,y,y}_b$$

    halten...

    Wenn SideWinder aber nur von Mengen redet, verstehe ich seine frage nicht...

    grüüüße

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  • S

    Okay, Klarstellungen:

    The simplest kind of nonidentity is between constants — e.g., like stating
Monkey != Banana1. ⇒ In general FOL, it is not assumed that different constants mean different objects!

Two possibilities to achieve nonidentity between constants:
(1) We add an axiom into the knowledge base stating a disequality for
every pair of constants (this is called the unique-names axiom)

    Die Menge der Konstanten (=Konstantennamen) ist selbstverständlich keine Multimenge. Ich war nur verwirrt weil ich zuerst dachte, dass die Menge der Konstnaten = die Menge der Objekte die sie referenzieren sind, was schlichtweg Blödsinn ist.

    Ich habe das nun wie oben gezeigt umgesetzt:

    V c1 € C : V c2 € C\c1 : c1 != c2

    Tut mir leid, dass ich euch auch verwirrt habe und so ein langer Thread entstanden ist.

    MfG SideWinder

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  • B

    SideWinder schrieb:

    Die Menge der Konstanten (=Konstantennamen) ist selbstverständlich keine Multimenge.

    Ich habe das nun wie oben gezeigt umgesetzt:

    V c1 € C : V c2 € C\c1 : c1 != c2

    Das ist eine Tautologie, denn wenn, wie du sagst, C keine Multimenge ist, dann ist c1 immer ungleich c2.

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  • S

    Hmm, jetzt bin ich verwirrt. Werden Konstanten sofort aufgelöst zu den Objekten? Nein, oder? Also fehlt hier noch 2x value(c1) != value(c2) oder?

    MfG SideWinder

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  • Z

    (1) We add an axiom into the knowledge base stating a disequality for
    every pair of constants (this is called the unique-names axiom)

    bashar schrieb:

    SideWinder schrieb:

    Die Menge der Konstanten (=Konstantennamen) ist selbstverständlich keine Multimenge.

    Ich habe das nun wie oben gezeigt umgesetzt:
    Code:
    V c1 € C : V c2 € C\c1 : c1 != c2

    Das ist eine Tautologie, denn wenn, wie du sagst, C keine Multimenge ist, dann ist c1 immer ungleich c2.

    Ist richtig, SideWinder hat quasi nur Axiom 1 formalistisch darstellen wollen, oder sehe ich das falsch?

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  • C
    Mod

    SideWinder schrieb:

    Hmm, jetzt bin ich verwirrt. Werden Konstanten sofort aufgelöst zu den Objekten?

    Ich denke die Verwirrung kommt daher, dass du versucht mit dem All-Quantor über die Menge der Konstanten zu quantifizieren. Das ist in FO nämlich unmöglich.

    Du kannst nicht über die Menge der Konstanten quantifizieren. Was geht, ist folgendes:

    \begin{align*} \Phi := \left\{ c\_i \neq c\_j \mid i,j \in \mathbb{N}, i < j \right\} \end{align*}

    Dann ist Phi eine Menge von FO-Formeln. In Phi stehen unter anderem die folgenden Formeln:
    c_1 != c_2
    c_3 != c_7

    Alle Formeln in Phi zusammengenommen sagen aus "es gibt keine zwei unterschiedlichen Konstanten, die mit demselben Wert interpretiert werden".

    In FO kann man das aber nicht in einer einzigen Formel ausdrücken, denn man würde die Konjunktion über ganz Phi brauchen. Phi ist aber unendlich, und FO kann nur endliche Konjunktionen ausdrücken.

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  • S

    @Christoph: Gilt das auch noch, wenn die Menge der Konstanten endlich ist. In einem Knowledged-Based-System führe ich die Konstanten ja als "background knowledge" ein, da kann ich natürlich als Mensch auch nur endlich viele hinschreiben.

    MfG SideWinder

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  • C
    Mod

    SideWinder schrieb:

    @Christoph: Gilt das auch noch, wenn die Menge der Konstanten endlich ist.

    Wenn es in der Sprache nur endlich viele Konstanten gibt, dann ist mein Phi von vorhin endlich und damit ist die Konjunktion über Phi auch endlich. Dann kann man es hinschreiben in FO:

    \begin{align*} \bigwedge_{\substack{i,j\in\{1,2,...,n\}\\i
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  • Z

    @Christoph:

    Für mich mal interesse halber:

    Φ:={c_1,c_2∈C∣c_1≠c_2∀i,j∈N:i≤j}⇒Φ⊂C\Phi :=\{c\_1,c\_2\in \mathbb{C}| c\_1\neq c\_2 \forall i,j\in\mathbb{N}: i\leq j\} \Rightarrow \Phi\subset \mathbb{C}

    Ist die folgerung, respektive formulierung, falsch?

    greetz

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  • C
    Mod

    zeusosc schrieb:

    Für mich mal interesse halber:

    Φ:={c_1,c_2∈C∣c_1≠c_2∀i,j∈N:i≤j}⇒Φ⊂C\Phi :=\{c\_1,c\_2\in \mathbb{C}| c\_1\neq c\_2 \forall i,j\in\mathbb{N}: i\leq j\} \Rightarrow \Phi\subset \mathbb{C}

    Ist die folgerung, respektive formulierung, falsch?

    Die Formulierung ergibt in der Form keinen Sinn.

    \Phi :=\{c\_1,c\_2\in \mathbb{C}| c\_1\neq c\_2 \forall i,j\in\mathbb{N}: i\leq j\}$$ heißt "Phi ist definiert als die Menge aller c\_1, c\_2 aus C, die die folgenden beiden Bedingungen erfüllen: 1\. Es gilt c\_1 != c\_2 2\. Für alle i, j \\in N gilt i <= j. Bedingung 2 ist niemals erfüllt, denn es gibt $$i,j \in \mathbb{N}$$, die nicht i <= j erfüllen.
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  • B

    Christoph schrieb:

    Du kannst nicht über die Menge der Konstanten quantifizieren.

    Was wiederum daran liegt, dass Konstanten ja lediglich Konstantensymbole (bzw. nulläre Funktionssymbole) und damit syntaktische Elemente der Sprache sind, während Quantoren über die Individuen, welche semantische Elemente sind, laufen. In einer Theorie der natürlichen Zahlen hätte man beispielsweise nur ein Konstantensymbol, nämlich 0, aber unendlich viele Individuen {0,1,2,...} (die man durch Terme wie 0, S0, SS0 ... darstellen kann).

    Jetzt mal von der Theorie weg: Bei einem wissensbasierten System, ist das praktikabel, es mit Axiomen der Form c_i != c_j vollzustopfen? Ich würde eine Konfigurationseinstellung erwarten.

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  • B

    In was für einer Logik bewegen wir uns nun? Eine standard FOL kennt neben dem Universum keine Mengen. Wenn du die Mengentheorie-Logik zulässt dann hast du etwas mächtigeres, da du die natürlichen Zahlen ausdrücken kannst.

    SideWinder schrieb:

    Meine Frage steht im Threadtitel. Wie kann ich in FOL verhindern, dass Konstanten aus der Menge C der Konstanten die gleichen Objekte referenzieren.

    In FOL ist die Menge der Funktionen endlich (also auch der 0-stelligen Funktionen aka Konstanten). Das heißt, dass not((c1=c2)ν(c1=c2)ν..(c1=cn)ν...(cn=cn)) eine gültige endliche Formel ist die genau das fordert was du haben willst.

    Werden Konstanten sofort aufgelöst zu den Objekten?

    Das kommt auf die Fragestellung an. Du kannst zeigen, dass eine Formel in jeder Interpretation gilt oder du betrachtest nur die Interpretationen welche die Formel erfüllen oder die fragst ob es überhaupt solch eine gibt oder ... Ohne Interpretation ist eine Formel nicht viel mehr als eine syntaktisch korrekte Suppe von Zeichen.

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  • C
    Mod

    Ben04 schrieb:

    In FOL ist die Menge der Funktionen endlich (also auch der 0-stelligen Funktionen aka Konstanten). Das heißt, dass not((c1=c2)ν(c1=c2)ν..(c1=cn)ν...(cn=cn)) eine gültige endliche Formel ist die genau das fordert was du haben willst.

    Nein, das ist nicht der Fall. FO wäre an einigen Stellen ziemlich langweilig, wenn man nur endliche Signaturen erlauben würde.

    edit: Ein konkretes Beispiel, bei dem man unendlich viele (sogar überabzählbar viele) Konstanten-Symbole benötigt, ist das upward Löwenheim-Skolem theorem.

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  • B

    Christoph schrieb:

    Nein, das ist nicht der Fall. FO wäre an einigen Stellen ziemlich langweilig, wenn man nur endliche Signaturen erlauben würde.

    Stimmt! In den meisten Anwendungen dürften davon aber nur endlich viele verwendet werden und dann reicht auch diese endliche Teilmenge. Was nicht benutzte Konstanten machen dürfte meistens egal sein.

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