Ableitung über Umkehrfunktion (Denkblockade 2.0)

Ich habe eine kleine Denkblockade, ich habe gelesen die Ableitung einer Funktion f(x) lässt sich über die Ableitung der Umkehrfunktion wie folgt bestimmen:

f^-1 <-- soll Umkehrfunktionbedeuten.

f'(x) = 1 / (f^-1(f(x)))'

Für ein bestimmtes Beispiel komme ich zu keinem brauchbarem Ergebnis.
Zumindest reicht mir mein Ergebnis nicht.

Beispiel:

f(x) = x^2

normalerweise f'(x) = 2x. Jetzt versuche ich es mit Hilfe der Umkehrfunktion.

f'(x) = (1) / (1/2 * x^-1/2) )

Wie komme ich auf 2 * x?

CStoll

Wenn du diese Regel schon anwendest, dann auch richtig:
f(x) = x²
f^-1 = sqrt(y) = y^1/2
(f^-1)'(y) = 1/2 * y^-1/2 = 1/(2*y^1/2)

f'(x) = 1 / (f^-1(f(x)))'
= 1 / (1/(2f(x)^1/2))
= 2(x²)^1/2
= 2*x

Aber normalerweise macht man es sich nicht so kompliziert, wenn man auch mit leichter anwendbaren Regeln (z.B. Potenzregel) zum selben Ergebnis kommen kann

Vielen dank. Das Beispiel macht es klar.

freakC++

Manchmal brauchst Du diese Regel aber auch sehr dringend. Beispielsweise kannst Du damit zeigen, dass die Ableitung des natürlichen Logarithmus 1/x ist.

lg, freakC++

Ich war wohl voreilig, was passiert zwischen diesen Schritten hier?

= 1 / (1/2f(x)1/2)
= 2(x2)1/2

CStoll

MalWasEinfaches schrieb:

Ich war wohl voreilig, was passiert zwischen diesen Schritten hier?

= 1 / (1/2f(x)1/2)
= 2(x2)1/2

Erstens: Umformung des Doppelbruchs 1 / (1/n) = 1 * (n/1) = n
Zeitens: Einsetzen von f(x) = x²

@freakC++: Hab ich auch nicht gesagt Nur finde ich es ein wenig übertrieben, die Ableitung der Quadratfunktion per Umkehrregel zu ermitteln

Michael E.

MalWasEinfaches schrieb:

Ich war wohl voreilig, was passiert zwischen diesen Schritten hier?

= 1 / (1/2f(x)1/2)
= 2(x2)1/2

Da ist noch ein Vorzeichenfehler drin, es sollte f(x)^-1/2 heißen.

Außerdem solltet ihr die Regel auch richtig hinschreiben, d. h. richtig klammern, denn (f^-1(f(x)))' ≠ (f^-1)'(f(x))

CStoll

Michael E. schrieb:

Da ist noch ein Vorzeichenfehler drin, es sollte f(x)^-1/2 heißen.

Nein, sollte es nicht - das Minus hatte ich schon bei der Umformung von (f^-1)' rausoperiert

Michael E.

CStoll schrieb:

Michael E. schrieb:

Da ist noch ein Vorzeichenfehler drin, es sollte f(x)^-1/2 heißen.

Nein, sollte es nicht - das Minus hatte ich schon bei der Umformung von (f^-1)' rausoperiert

Du kannst es dir aussuchen: Entweder fehlt ne Klammer, oder du hast nen doppelten Vorzeichenfehler. Das siehst du auch am nächsten Schritt:

CStoll schrieb:

1 / (1/2f(x)^1/2)
= 2(x²)^1/2

Siehst du, wie du hier f in den Zähler holst, aber den Exponenten nicht negierst?

Außerdem sollte man noch erwähnen, dass man mit dieser Methode lediglich die Ableitung für x in (0, ∞) bestimmt hat.

CStoll

Michael E. schrieb:

Du kannst es dir aussuchen: Entweder fehlt ne Klammer, oder du hast nen doppelten Vorzeichenfehler. Das siehst du auch am nächsten Schritt:

Dann war's wohl ersteres *geht die Formel korrigieren*