4. Stochastik-Frage

Stochastik-Frage

  • X

    Hallo,

    ich komme hier bei einer (ziemlich einfachen, glaube ich) Aufgabe nicht weiter. Wäre klasse, wenn mir jemand von euch einen kleinen Hinweis hätte, wie ich da weiterkommen kann:
    20% der Menschen haben eine Krankheit. Ein Test schlägt mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/10 bei Infizierten an, bei nicht-Infizierten mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10.

    Wählt man jetzt zufällig eine Person aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Test eine Infektion feststellen?

    Bei einer zufällig ausgewählten Person schlägt der Test an. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie wirklich infiziert ist?

    Wie gesagt, keine Ahnung wie ich an sowas rangehen soll.
    Grüße,
    Michael

    EDIT: Ich glaube ich hab's schon! Man kann sich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten was zusammenbasteln.

    0
  • M

    Stichwort Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.

    0
  • ?

    XDVD schrieb:

    Hallo,

    ich komme hier bei einer (ziemlich einfachen, glaube ich) Aufgabe nicht weiter. Wäre klasse, wenn mir jemand von euch einen kleinen Hinweis hätte, wie ich da weiterkommen kann:
    20% der Menschen haben eine Krankheit. Ein Test schlägt mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/10 bei Infizierten an, bei nicht-Infizierten mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10.

    Wählt man jetzt zufällig eine Person aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Test eine Infektion feststellen?

    Bei einer zufällig ausgewählten Person schlägt der Test an. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie wirklich infiziert ist?

    Wie gesagt, keine Ahnung wie ich an sowas rangehen soll.
    Grüße,
    Michael

    Ui, Stochastik!

    20% aller Menschen sind krank. Beim Testen werden aber 10% davon nicht erkannt. Was sind 10% von 20%? Was sind 10% von 80%?

    Reicht das, oder bist du auch schon so weit gekommen?

    0
  • X

    Also, die erste Teilaufgabe habe ich jetzt so gelöst:
    Erst ein paar Ereignisse definiert:

    A={``Hat Krankheit''}A¯={``Hat Krankheit nicht''}B={``Test positiv''}A = \{\text{``Hat Krankheit''}\} \bar A = \{\text{``Hat Krankheit nicht''}\} B = \{\text{``Test positiv''}\}

    Dann müsste sich ja ergeben:

    P(A)=210P(A¯)=810P(B ∣ A)=910P(B ∣ A¯)=110P(A) = \frac 2{10} P(\bar A) = \frac 8{10} P(B~|~A) = \frac 9{10} P(B~|~\bar A) = \frac 1{10}

    Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann:

    P(B)=P(B∣A)⋅P(A)+P(B∣A¯)⋅P(A¯)=910⋅210+110⋅810=1350P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar A) \cdot P(\bar A) = \frac 9{10} \cdot \frac 2{10} + \frac 1{10} \cdot \frac 8{10} = \frac{13}{50}

    Ist das soweit richtig?

    Bei der zweiten Teilaufgabe vermute ich sowas:

    P(\text{``Test war positiv bei zufällig ausgewählter Person''})=\frac{13}{50} P(\text{``Person ist wirklich infiziert''})=P(A|B) = \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)} = ...

    Danke für die schnelle Hilfe 🙂

    Edit: Huch, ist das Latex-Feature kaputt?

    0
  • B

    XDVD schrieb:

    Also, die erste Teilaufgabe habe ich jetzt so gelöst:
    Erst ein paar Ereignisse definiert:

    \[ A = \{\text{``Hat Krankheit''}\} \bar A = \{\text{``Hat Krankheit nicht''}\} B = \{\text{``Test positiv''}\}\]

    Dann müsste sich ja ergeben:

    \[ P(A) = \frac 2{10} P(\bar A) = \frac 8{10} P(B~|~A) = \frac 9{10} P(B~|~\bar A) = \frac 1{10}\]

    Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann:

    \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar A) \cdot P(\bar A) = \frac 9{10} \cdot \frac 2{10} + \frac 1{10} \cdot \frac 8{10} = \frac{13}{50} \]

    Ist das soweit richtig?

    Bei der zweiten Teilaufgabe vermute ich sowas:

    \[ P(\text{``Test war positiv bei zufällig ausgewählter Person''})=\frac{13}{50} P(\text{``Person ist wirklich infiziert''})=P(A|B) = \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)} = ...\]

    Danke für die schnelle Hilfe 🙂

    Edit: Huch, ist das Latex-Feature kaputt?

    Nö, glaube nicht 😉

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