Raketengleichung

Hallo, liebes Forum!

Ich komme leider bei einer Aufgabe nicht weiter und benötige daher Hilfe.

Aufgabe:

Eine Rakete hat zu Beginn die Masse 250.000 kg (*)

(*) Anmerkung: Der Punkt ist dabei kein Dezimaltrennzeichen!

Anfangsgeschwindigkeit der Rakete = 1400 m/s
Es wird pro Sekunde ein konstanter Massenstrom von 10.000 kg abgegeben

Es soll nun die Raketengeschwindigkeit v1 nach einer Sekunde ermittelt werden.

Mein Ansatz:

Der Anfangs-Impuls der Rakete: p0 = m0*v0 = (250.000 * 1400) kg*[m/s] = 350.000.000 kg[m/s]*

Nun teilt sich der Anfangsimpuls (nach dem Massenstrom) in p1 = m1*v1 (Rakete bei Treibstofverlust) und p2 = m2*v2 (ausgestoßener Treibstoff).

Ich bilde einen funktionalen Zusammenhang von Massenänderung und der Zeit:

m = f(t) = ANFANGSMASSE - MASSENSTROM * ZEIT
m = f(t) = m0 - 10.000 kg/s * t (*)
(*) D(f) = [0;∞]

Ich komme zu dem Schluss, dass MASSENSTROM * ZEIT, also 10.000 kg/s * t, m2 oder besser m2 = m0 - f(t) ist:

m2 = 10.000 kg/s * t

und f(t) die Masse m1 der Rakete bei Treibstoffabnahne ist.

Es folgt:

p = p1 + p2 (Impulserhaltungssatz)

p = m1*v1 + m2*v2

p = f(t)*v1 + [f(t)-m0]*v2

Nun fehlt mir aber v2! Ich kann also ohne v2 nicht v1 berechnen, wie ermittele ich v2, welcher Gedankengang ist hierzu wichtig?

PS: Bitte möglichst ohne höhere Mathematik, denn soweit bin ich noch nicht...

SeppJ

Heißer Tipp: Rechne immer zuerst abstrakt und setz erst am Ende deine Werte ein.

Zur Aufgabe: Die Aufgabe ist unvollständig. Es fehlt die Information, mit welcher Geschwindigkeit der Treibstoff abgegeben wird, wie du selbst festgestellt hast. Oder eine weitere Angabe, aus der man diesen Wert bestimmen kann. Ohne weitere Information wird dein Ergebnis daher von einer Unbekannten abhängen.

icarus2

Hier findest du eine Herleitung der Raketengleichung bei 3.7.3 (Seite 74)

Ich finde es dort ziemlich gut erklärt.

(i S. 113)Eine Rakete besitzt eine Startmasse von 250t. Beim Start strömen pro Sekunde 10t Gas mit der Geschwindigkeit 1400 m/s aus. Welche Geschwindigkeit hat die Rakete nach einer Sekunde erreicht? Wie groß war dabei die Beschleunigung und welchen Weg hat sie in dieser Sekunde zurückgelegt?

Lösungen: v=56m/s; a=56m/s²,28m

Hm, vlt. klappt es, wenn ich die Erdbeschleunigung einbeziehe:

p0 = p1 + p2 // (Impulserhaltung)

p0 = m1*v1 + m2*v2

m2 = m0 - m1

=> p0 = m1*v1 + (m0 - m1)*v2 | -(m0 - m1)*v2

<=> m1*v1 = p0 - (m0 - m1)*v2 |: m1

<=> v1 = { p0 - [m0-m1]*v2 } / m1

<=> v1 = { p0 - m0*v2 - m1*v2 } / m1
= { m0*v0 - m0*v2 - m1v2 } / m1
= { m0(v0-v2) - m1*v2 } / m1

m1 = K * t // (K ist der Massenstrom)

Da t=1, m1= 10.000 kg

Hm, wie geht es nun weiter?

Hoppla, ich glaub ich hab die Strömungsgeschwindigkeit mit der Raketengeschwindigkeit verwechselt.

SeppJ

ErwinStein schrieb:

Hoppla, ich glaub ich hab die Strömungsgeschwindigkeit mit der Raketengeschwindigkeit verwechselt.

Ahh, das erklärt vieles. Kommst du nun alleine auf die Lösung?

Man, man, man, und ich habe fast 4 Stunden mit dieser simplen Aufgabe verbracht.

geg:

mR0 = 250.000 kg (Startmasse)
vA = 1400 m/s
mA = 10.000 kg

Raketen-Impuls - Ausstoß-Impuls = 0

mR*vR - mA*vA = 0

mR = m0-mA

=> (m0*-mA)*vR - mA*vA = 0 |+mA*vA |:(m0-mA)

<=> vR = mA*vA / m0-mA

vR = mA*vA / m0-mA

vR = [ 10.000*1400 / 250.000-10.000 ] m/s = 14000000/240000 m/s = 58.333333333333336 m/s ≈ 58.3 m/s

Aber das Ergebnis stimmt trotzdem nicht mit der Musterlösung überein...

SeppJ

ErwinStein schrieb:

Aber das Ergebnis stimmt trotzdem nicht mit der Musterlösung überein...

Wenn ich das richtig sehe, hast du die Rakete behandelt, als sei sie eine Kanone, die die 10.000 kg mit einem Schlag abgeschossen hätte. Die Rakete gibt diese Masse aber kontinuierlich über die 1 s ab.

Kannst Du mal bitte Deinen Lösungsweg schildern?

Ich weis nämlich nicht wie ich das mathematisch auffassen soll.

Müsste dann dieser Massenstrom nicht Abgeleitet werden? Aber selbst, dann wäre die Steigung 10 000 kg. Ich vestehe nicht so recht...

SeppJ

Jaja, nicht so ungeduldig. Lass mir doch mal 5 Minuten zum Antworten. Oder lieber ein paar Stunden, da ich gerade anderweitig beschäftigt bin. In der Zwischenzeit kannst du dir ja schon einmal Wikipedia zur Raketengleichung durchlesen.

SeppJ

Denk mal an deine Kanonenrakete. Bei dieser schießt die Rakete ihre 10 Tonnen schwere Kugel mit einem Schuss weg. Dadurch bekommt sie den Impuls p = 10 Tonnen * 1400 m/s. Und die Geschwindigkeit v = p/(250 t - 10 t) = 58,3333, wie du schon ausgerechnet hast.

Jetzt denkst du dir eine doppelläufige Kanone, die nacheinander zwei Kugeln zu je 5 t abschießt. Nach dem ersten Schuss hat die Rakete den Impuls p/2 und die Geschwindigkeit v1 = p/2 / (250 t - 5 t) = 28.5714. Und das ist nicht v/2! Jetzt schießt die Rakete die zweite Kugel ab. Diese entfernt sich wieder mit 1400m/s von der Rakete. Von der Rakete aus gesehen, wohlgemerkt. Die Rakete gewinnt (vom mitbewegten System aus gesehen) wieder den Impuls p/2 und dieses Mal die Geschwindigkeit v2 = p/2 / (245t - 5 t) = v/2. Und Jetzt muss man nur noch addieren um zu sehen, wie schnell sich die Rakete für den ruhenden Beobachter bewegt: v1 + v2 = 57.738 < v

Verstanden, warum das ein anderer (kleinerer) Wert ist? Es liegt da dran, wie viel Masse die Rakete jeweils nach den Schüssen noch hat. Daher ist ein dicker Knall anders (und zwar günstiger) als viele kleine Schüsse.

Und jetzt denkst du dir, dass die Rakete unendlich kleine Kügelchen nacheinander abschießt, immer mit 1400 m/s. Und zwar gerade so viele, dass sie davon insgesamt 10 t /s abschießt. Und mit dieser Motivation liest du dir die Herleitung zur Raketengleichung auf den verlinkten und/oder erwähnten Seiten durch (ich bin zu faul, diesen Standardstoff für das Forum abzutippen :p ).

Noch Fragen?