Wie berechnet man dieses Integral?

otze

Hi,
Mein Wissen über Analysis ist leide rnicht so gut, wie es sein sollte. Und ich muss zugeben, das sich häufig einfach Wolframalpha Frage, und das dann übernehme. Meistens weiß ich dann auch, wie es selbst ginge. bei diesem Integral habe ich aber keine Ahnung:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+e^{%28-%28x-b%29}2%2Bax%29+dx%2C+x%3D-infinity+to+infinity

(link muss kopiert werden, Forensoftware ist doof)

ich weiß noch so weit weiter, dass ich durch die unendlichen Integrationsgrenzen x durch x'+b ersetzen kann, wodurch sich das Integral des zweiten Terms als erf(x) ergibt. Dann habe ich immer noch das Produkt zweier Funktionen, die sich durch partielle Integration nicht vereinfachen lassen.

Was würde der Mathematiker jetzt tun?

Guck mal hier:

http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html

Der schwere Teil von deinem Integral ist das Integral über exp(-x^2)
Mit ein bisschen Substituieren kommst du vielleicht da hin, oder du kannst vielleicht den Trick anpassen und direkt auf dein Integral anwenden.

otze

Okay, Danke. sieht alles ziemlich kompliziert aus, und ich kam da nicht wirklich hinter. Ich nehms deswegen einfach mal so hin

Mario Sandler

Du rechnest den Exponenten aus. Machst dann eine quadratische Ergänzung
damit du den Exponenten wieder in quadratischer Form schreiben kannst (x+c)^2.
Anschließend die Ersetzung x' = x+c. Und dann den Link der bereits gepostet wurde anwenden.

@Otze: Weisst du, wie man Zweidimensionale Integrale behandelt? Kennst du Polarkoordinaten?

otze

Ja, ich bin aber weit davon entfernt, damit wirklich selbstständig arbeiten zu können. ich habe relativ wenig damit gemacht, auch wnen ich e smal gemacht habe. Meine Matheausbildung ist leide rnicht sooo gut

Um den Trick für das

integral exp(-x^2) dx (x=-inf..inf)

sollte das dann ja reichen. Da wird ja nur ein bisschen Algebra gemacht, zwei Integrale zusammengezogen und dann einmal nach Polarkoordianten umgerechnet.

Um dein Integral in diese Form zu transformieren, musst du nur deinen Exponenten anders hinschreiben und Substitutionsregel anwenden, um dein Integral in die Form

Faktor * integral exp(-x^2) dx (x=-inf..inf)

zu bringen.

Das hintere Integral ist dann gleich sqrt(pi), den Faktor hast du selber ausgerechnet.

Wenn dir der Trick zu kompliziert ist, kannst du ja erstmal versuchen, dein Integral in obige Form zu bringen - den Weg hat ja Mario schon erklärt.

Gib doch nicht so schnell auf