Erkennen, ob Matrix eine Inverse besitzt?

Kann man an bestimmten Matrizen irgendwie einfach erkennen/vermuten, dass diese wahrscheinlich keine Inverse Matrix besitzt?

Das ganze ist ein Zeitproblem während der Prüfung - Gauss-Jordan blind auf eine Matrix werfen, ohne an ein Ziel zu kommen, ist verschwendete Zeit.

Jedoch ist auch das blinde Anwenden der Determinantenbildung (um zu schauen ob det(A) = 0 => gibt keine Inverse) Zeitverschwendung.

Z.B.:

1 0 3 0
1 0 0 0
0 2 0 0
0 2 0 4

Kann man hier irgendwie gut vermuten, ob sie eine Inverse besitzt oder nicht, um sich für eine der beiden Methoden (gleich losrechnern oder erst det() bilden um Existenz der Inversen zu bestätigen) zu entscheiden?

Bashar

Letztlich läuft es auf Gauss-Jordan oder Determinantenberechnung hinaus, aber man muss die Algorithmen ja nicht stur und blind anwenden. Determinanten kann man nach Laplace (der war's doch?) entwickeln, bei soviele Nullen wie hier gibt es da fast nichts zu rechnen. Man kann auch elementare Zeilenoperationen in einer anderen Reihenfolge als beim Gauss-Jordan ausführen, dann sieht man hier sehr schnell, dass die Matrix regulär ist.

Ein paarmal eine Zeilen von einer anderen subtrahieren:
0 0 3 0
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 0 4
Ein paarmal vertauschen (das kann man sich jetzt aber wirklich sparen):
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
Und das normieren kann man sich erst recht sparen.

Hmm..

hab ich dann nach diesen Rechenschritten auf der rechten Seite im Gauss-Jordan auch wirklich die invertierte Matrix? Denn die Zeilen sind ja jetzt vertauscht, oder macht das gar nichts aus?

Sorry - doofe Frage. Vertauschen lässt sich ja Problemlos auf addieren und subtrahieren zurückführen, dementsprechend ist eine Vertauschung von A und B nix anderes als auf A B drauf addieren und von dieser entstandenen spalte A abzuziehen, und dementsprechend das gleiche für B.

Bashar

Als elementare Zeilenoperationen kenne ich
* Vertauschen
* mit einem Skalar ungleich 0 multiplizieren
* ein Vielfaches einer Zeile auf eine andere addieren

Vertauschen lässt sich ja Problemlos auf addieren und subtrahieren zurückführen, dementsprechend ist eine Vertauschung von A und B nix anderes als auf A B drauf addieren und von dieser entstandenen spalte A abzuziehen, und dementsprechend das gleiche für B.

Na ganz so einfach ist es wohl nicht. Wenn du A auf B addierst hast du A und A+B, und dann? Wie willst du da jetzt B abziehen, es gibt ja keine Zeile B.

Man könnte es so machen:
A B --> A A+B --> A-(A+B) A+B = -B A+B --> -B A --> B A

Vertauschung muss man also anscheinend nicht als elementar postulieren. Wieder was gelernt.