Kleine Frage zu Wurzeln & Co.
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Guten Tag,
ich besuche zurzeit die 9. Klasse eines Gymnasiums und interessiere mich sehr für Mathematik, weswegen ich teilweise auch schon im Stoff vorarbeite und mich mit schwierigeren Sachen beschäftige.
Ich hätte da mal ein paar Fragen:1. Unser Mathelehrer betont immer wieder das die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert wäre und das Quadrat einer Zahl immer nichtnegativ sei. Was mich daran stört ist, dass er immer wieder sagt "Es gibt KEINE Lösung.", normalerweise gibt es doch nur keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen, oder? Da auch noch der komplexe Zahlenbereich existiert, ist diese Aussage doch falsch, oder?
2. Wäre es falsch, wenn ich bei der nächsten Arbeit, die wir schreiben, auch komplexe Zahlen als Lösung angebe? Und angenommen es käme eine Gleichung wie 2^x=8. Würde mein Lehrer es mir als falsch anstreichen, wenn ich die mithilfe des Logarithmierens und nicht durch Raten o.ä. löse?
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Ich bin kein Profi, aber antworte dir vorläufig schon mal bis die echten Profis sich melden.
Der Lehrer unterrichtet so, das er sich dabei auf das Wissen bezieht, das ihr bereits habt oder noch erlangen werdet. Insofern sind seine Aussagen unter Betrachtung eures Wissenstandes vollkommen richtig. Solltest du dich damit nicht zufrieden geben, dann würde ich mich nach der Stunde mit ihm darüber unterhalten. Das hat für dich auch den Vorteil, das der Lehrer sieht, das du daran interessiert bist, was dir definitiv weitere Pluspunkte bringt.
Wenn ich mich in die Position des Lehres versetze und mir vorstelle, das ein Schüler eine Aufgabe anders löst, als es unterrichtet wurde, dann hängt es von der Situation ab, ob ich ihm dafür die Punkte geben würde.
Gerade wenn du mit komplexen Zahlen anfängst, dann kannst du dich da unter Umständen in eine Situation reiten, die dir später sogar zum Nachteil wird. Sofern nicht das Ergebnis da steht, was verlangt wurde, würde ich dann auch keine Punkte geben. Schließlich geht es in Klausuren darum, das du zeigst, was du im Unterricht gelernt hast.
Wenn du dir das Leben allerdings einfacher machst und nicht rätst, sondern weißt, wie man etwas ausrechnet, dann kann das je nach Situation gut oder schlecht sein. Wenn du also eine Gleichung hast und sofort das richtige Ergebis hinschreibst, dann könnte für den Lehrer der Eindruck entstehen, das du abgeschrieben hast. Schließlich könnte es enorm unwahrscheinlich sein, das du sofot richtig rätst. Du müsstest also zum Beweis auch den Rechenweg hinschreiben. Hier kann es dich dann wieder deinen Kragen kosten, wenn du das formal nicht korrekt machst.
Das ganze ist also letztendlich recht riskant und hängt auch vom Lehrer ab, wie streng er das sieht. Ich würde es daher nicht tun. Lieber mit ihr darüber unterhalten und in Klausuren und Aufgaben das machen, was verlangt wird. Nicht mehr und nicht weniger. Damit bist du auf der sicheren Seite.
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Blubberblasenmann schrieb:
2. Wäre es falsch, wenn ich bei der nächsten Arbeit, die wir schreiben, auch komplexe Zahlen als Lösung angebe?
Wegen unangebrachter/unsinniger Klugscheisserei würde ich Punkte abziehen.
Und wenn im Kontext klar ist, dass Lösungen im Körper der reellen Zahlen gesucht werden (und das ist hier mehr als klar, da ihr |C noch gar nicht kennt), dann gibt es (da) halt keine Lösung.
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Blubberblasenmann schrieb:
1. Unser Mathelehrer betont immer wieder das die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert wäre und das Quadrat einer Zahl immer nichtnegativ sei. Was mich daran stört ist, dass er immer wieder sagt "Es gibt KEINE Lösung.", normalerweise gibt es doch nur keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen, oder? Da auch noch der komplexe Zahlenbereich existiert, ist diese Aussage doch falsch, oder?
Das kommt drauf an, welchen "Existenzwert" man den komplexen Zahlen zuordnet. Für einen Physiker oder Ingenieur sind komplexe Zahlen die Realität, weil sie wirklich erstaunliche Eigenschaften haben und viele Stellen, an denen die reellen Zahlen irgendwie unschön sind, abrunden. Für den Mathematiker ist das einfach einer von vielen Zahlbereichen. Das heißt, für einen Mathematiker ist die Frage nach der Lösbarkeit einer Gleichung völlig sinnlos, solange nicht klar ist, aus welchem Zahlbereich die Lösung denn genommen werden soll. Beispielsweise gibt es sog. diophantische Gleichungen, bei denen man nur ganzzahligen Lösungen gelten lässt. Und in der Schule ist es halt so, dass man in der 9. Klasse in der Regel die komplexen Zahlen noch nicht kennt, und damit unausgesprochen immer "in den reellen Zahlen" gemeint ist.
Und angenommen es käme eine Gleichung wie 2^x=8. Würde mein Lehrer es mir als falsch anstreichen, wenn ich die mithilfe des Logarithmierens und nicht durch Raten o.ä. löse?
Das Lösen dieser Gleichung *ist* logarithmieren, egal ob du rätst oder sonstwas machst. Raten bzw. sehen ist in diesem Fall sogar der effizienteste Lösungsweg. Wie würdest du es sonst machen, etwa mit dem Taschenrechner?
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Jockelx schrieb:
Blubberblasenmann schrieb:
2. Wäre es falsch, wenn ich bei der nächsten Arbeit, die wir schreiben, auch komplexe Zahlen als Lösung angebe?
Wegen unangebrachter/unsinniger Klugscheisserei würde ich Punkte abziehen.
Und wenn im Kontext klar ist, dass Lösungen im Körper der reellen Zahlen gesucht werden (und das ist hier mehr als klar, da ihr |C noch gar nicht kennt), dann gibt es (da) halt keine Lösung.Naja, aber wenn der Zahlenbereich nicht explizit vorgegeben wurde, wäre es doch trotzdem mathematisch richtig, oder? Es ist ja bewiesen das i²=-1 ist.
Mal folgendes Beispiel:
x² + 1 = 0
x² = -1L = {} (x e IR)
L = {i/-i} (x e IC)Das wäre die denke ich mal die sicherste Methode.
Wenn in der Aufgabe steht das nur Lösungen im Bereich der reellen Zahlen gesucht sind, würde ich natürlich auch nur eine reelle Lösung angeben. Alles andere wäre ja falsch.Bashar schrieb:
Und angenommen es käme eine Gleichung wie 2^x=8. Würde mein Lehrer es mir als falsch anstreichen, wenn ich die mithilfe des Logarithmierens und nicht durch Raten o.ä. löse?
Das Lösen dieser Gleichung *ist* logarithmieren, egal ob du rätst oder sonstwas machst. Raten bzw. sehen ist in diesem Fall sogar der effizienteste Lösungsweg. Wie würdest du es sonst machen, etwa mit dem Taschenrechner?
Naja schriftlich würde ich es mit einer Logarithmus-Tafel oder einem geeigneten Algorithmus machen, aber da wäre Raten wahrscheinlich immer noch die bessere Methode.
Ich meinte eher ob es falsch wäre anzugeben, dass man so eine Gleichung durch Logarithmieren löst:
2^x=8
-> log_2(8) = 3
x = 3
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Blubberblasenmann schrieb:
Mal folgendes Beispiel:
x² + 1 = 0
x² = -1L = {} (x e IR)
L = {i/-i} (x e IC)Das wäre die denke ich mal die sicherste Methode.
Du müsstest das schon expliziter hinschreiben, so wäre es falsch. Beispiel:
L = {}
(Über IC hätte man {i, -i} als Lösungsmenge.)Bashar schrieb:
Das Lösen dieser Gleichung *ist* logarithmieren, egal ob du rätst oder sonstwas machst. Raten bzw. sehen ist in diesem Fall sogar der effizienteste Lösungsweg. Wie würdest du es sonst machen, etwa mit dem Taschenrechner?
Naja schriftlich würde ich es mit einer Logarithmus-Tafel oder einem geeigneten Algorithmus machen, aber da wäre Raten wahrscheinlich immer noch die bessere Methode.
Ich meinte eher ob es falsch wäre anzugeben, dass man so eine Gleichung durch Logarithmieren löst:
2^x=8
-> log_2(8) = 3
x = 3Der Zwischenschritt sollte x=log_2(8) heißen. Du hast auf beiden Seiten logarithmiert. Das ist, falls beide Seiten positiv sind (und wir im reellen bleiben!), eine Äquivalenzumformung.
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Wenn dein Mathelehrer den Definitions-/Wertebereich nicht angegeben hat, dann liegt das vermutlich daran, dass ihr im Unterricht immer die reellen Zahlen genommen habt und er das so voraussetzt ohne dies gesagt zu haben.
Ansonsten könntest die als Wertebereich alles mögliche nehmen, wie z.B. Rationale Zahlen, Ganze Zahlen, Reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Gaußkörper oder vielleicht sogar Galois Felder ... (Wenn Du es ganz brutal machen willst, kannst du ja mal versuchen die Gleichung mit Quaternionen zu lösen)
Auf jedem dieser Definitionsbereiche ist die Gleichung vielleich lösbar oder nicht. Wenn du alles betrachten willst, hast du aber jede Menge Arbeit vor dir. Deshalb würde ich dir raten dich vielleicht doch auf die reellen Zahlen zu beschränken, wenn ihr nur die behandelt. Es ist klar, wenn du die Voraussetzung änderst, wirkt sich das auf die Lösung aus.
Beim Logarithmieren ist das vielleicht etwas anderes. Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Lehrer dir hier etwas abzieht, nur weil du einen Rechenweg hinschreibst. Allerdings ist 2^x=8 vielleicht doch so trivial, dass man es als Provokation aufassen kann, wenn man einen Rechenweg dazuschreibt. Das sollte man eigentlich gerade noch so hinbekommen.
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Blubberblasenmann schrieb:
Naja, aber wenn der Zahlenbereich nicht explizit vorgegeben wurde, wäre es doch trotzdem mathematisch richtig, oder? Es ist ja bewiesen das i²=-1 ist.
Nein, es ist so definiert. man kann es nicht beweisen. Für Elektrotechniker ist j^2=-1.
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Dieses Problem ist so ein ähnliches, wie wenn man in der Physikarbeit schreibt: "Die Entropie nimmt so gut wie/fast immer zu." Dann wird da das "so gut wie" oder "fast" angestrichen. Bloß, weil der Physiklehrer die niedrige Wahrscheinlichkeit abrundet. (Okay, Beispiel 10. Klasse, aber vielleicht hast du da auch schon vorausgearbeitet
)
Wenn du hinschreibst: Es gibt keine reelle Lösung und die komplexe Lösung ist ..., dann kann dir nicht mal Jockelx Punkte abziehen. (außer eventuell, deine komplexe Lösung ist falsch).
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Irgendwie würde ich als Lehrer dann überkritisch werden und an anderer Stelle Punkte abziehen als Ausgleich. Genausogut wie die Antwort mit den komplexen Zahlen könnte man schreiben, dass das Gleichungssystem (x=0 ^ x=1) im Raum der SeppJschen Hyperzahlen die Lösung x=0J1 hat. Der Verweis auf komplexe Zahlen ist hier vollkommen sinnlos. Die Gleichung hat in dem befragten Raum keine Lösung. In irgendwelchen abstrusen hypothetischen Räumen gibt es immer eine Lösung, der einzige Unterschied ist, dass die komplexen Zahlen, was abstruse hypothetische Konstrukte angeht, relativ bekannt sind.
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Blubberblasenmann schrieb:
2. Wäre es falsch, wenn ich bei der nächsten Arbeit, die wir schreiben,
Das hängt vom Lehrer ab.
Manche Lehrer lassen alles zu, was sich irgendwie richtig anfühlt.Manche Lehrer ziehen Punkte ab, wenn zum Beispiel Prozentzeichen zwei Punkte statt zwei Kreise haben, und er hat es nichtmal im Unterricht erwähnt, nur immer an der Tafel richtig vorgemacht.
Hier hast Du es doch total leicht. Du weißt, was der Lehrer haben will. Schreib's hin und fertig.
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Blubberblasenmann schrieb:
...
Du willst doch nur angeben.
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knivil schrieb:
Blubberblasenmann schrieb:
...
Du willst doch nur angeben.
Was will man auch anderes erwarten, wenn schon die Zahlen so eingebildet sind...
