4. Äquivalenzklassen und die Faktormenge

Äquivalenzklassen und die Faktormenge

  • B

    freakC++ schrieb:

    Mithilfe des Äquivalenzklassen fasse ich ähnlich oder auch gleiche Elemente einer Menge zusammen.

    Äquivalente, d.h. zueinander in einer bestimmten Äquivalenzrelation stehende, Elemente.

    1.) Wie habe ich obige Defintion zu lesen. Etwa so: "a_tilde ist definiert als ein Element x der Grundmenge x, dass mit einem anderen Element a aus X in einer Äquivalenzrelation steht."

    a Tilde ist definiert als DIE MENGE aller x aus der Grundmenge X, die äquivalent zu a sind.

    Deine Fehler: Wieso meinst du, a Tilde sei ein Element dieser Menge? = heißt "ist gleich", das Zeichen für "ist Element von" sieht anders aus und sollte dir eigentlich auch bekannt sein.

    Und es genügt nicht, zu irgendeinem Element äquivalent zu sein (das ist auch keine erwähnenswerte Leistung und wenn doch, hätte man das auch ausdrücklich z.B. unter Verwendung des Existenzquantors hingeschrieben), sondern x muss zu a äquivalent sein.

    2.) Angenommen, ich habe jetzt folgende Grunmenge G = {1,2,3} und diese Relation R darauf:

    R = {(1,1),(1,2),(2,2), (2,1),(3,3)}

    Wo kann ich jetzt hier Elemente zu Gruppen zusammenfassen und eine Äquivalenzklasse erstellen?

    Indem du die Definition anwendest.

    1 Tilde = Menge aller Elemente aus {1, 2, 3}, die zu 1 äquivalent sind. Das sind?

    2 Tilde = ?

    3 Tilde = ?

    BTW soweit ich weiß kann das Forum kein Latex mehr (oder hat sich das geändert und mein Browser hat es bloß noch nicht gemerkt?), also würde ich dich bitte, keine Latex-Tags zu verwenden.

    0
  • F

    Michael E. schrieb:

    Zuerst solltest du dir klar machen, warum die Relation eine Äquivalenzrelation ist, also Symmetrie, Reflexivität und Transitivität testen.

    Also ich habe mir diese Relation und diese Grundmenge herausgesucht, weil mir klar ist, dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Das habe ich durch einen anderen Thread gelernt :D.

    Michael E. schrieb:

    Dann steckst du alle Elemente in dieselbe Äquivalenzklasse, die äquivalent zueinander sind, d.h. deren Tupel in der Relation enthalten sind.

    Welche Elemente? Die der Grundmenge oder die Relation? So wie ich dich und die Definition verstehe, schaue ich mir die Grundmeng G an und vergleiche deren Elemente mit der der Relation. Doch in der Grundmenge sind gar keine Tupel, in der Relation aber schon. Was muss ich hier mit wem vergleichen?

    Bashar schrieb:

    Indem du die Definition anwendest.

    1 Tilde = Menge aller Elemente aus {1, 2, 3}, die zu 1 äquivalent sind. Das sind?

    2 Tilde = ?

    3 Tilde = ?

    So wie ich dich, Bashar, verstanden habe, soll ich einfach schauen, welche Elemente beispielsweise zu 1 äquivalent sind? Welche Elemente? Zu 1 ist nur 1 äquivalent! Wofür brauche ich dann die Relation?

    Danke für eure Antworten. Wie ihr merkt, bin ich ein absoluter Neuling auf dem Gebiet. Bald wird das Thema vielleicht auch für mich trivial 🤡

    lg, freakC++

    PS.: Warum deaktiviert man bitte im Matheforum die Latextags?? 😮

    0
  • B

    freakC++ schrieb:

    So wie ich dich, Bashar, verstanden habe, soll ich einfach schauen, welche Elemente beispielsweise zu 1 äquivalent sind? Welche Elemente? Zu 1 ist nur 1 äquivalent! Wofür brauche ich dann die Relation?

    Äquivalent im Sinne dieser Relation natürlich. Du hast (1,2) in R, also ist 1 zu 2 äquivalent.

    PS.: Warum deaktiviert man bitte im Matheforum die Latextags?? 😮

    Die sind nicht deaktiviert, nur kaputt.

    0
  • ?

    freakC++ schrieb:

    So wie ich dich, Bashar, verstanden habe, soll ich einfach schauen, welche Elemente beispielsweise zu 1 äquivalent sind? Welche Elemente? Zu 1 ist nur 1 äquivalent! Wofür brauche ich dann die Relation?

    Die Relation brauchst du um zu entscheiden, welche Elemente zueinander äquivalent sind. Zu 1 sind alle Elemente äquivalent, für die ein Tupel (1,n) in der Relation existiert (oder ein Tupel (n,1), aber das kommt wegen der Symmetrie der Relation auf's selbe hinaus).

    PS.: Warum deaktiviert man bitte im Matheforum die Latextags?? 😮

    Soweit ich das mitbekommen habe, hat das nichts mit dem Mathe-Forum zu tun - die Latex-Tags sind nicht deaktiviert, sondern kaputt.

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  • V

    R = {(1,1),(1,2),(2,2), (2,1),(3,3)}

    Ich schreibs mal anderts.
    1 R 1
    1 R 2
    2 R 2
    2 R 1
    3 R 3

    Und damit Du nicht vergüßt, daß R eine Aäquivalenzrelation ist, nenne ich R um in äq.
    1 äq 1
    1 äq 2
    2 äq 2
    2 äq 1
    3 äq 3

    Sodele.
    1 äq 2. Damit liegen 1 und 2 in der selben Klasse
    Und 3 in der anderen.

    Die Äquivalenzklassen bezüglich äq sind also {1,2} und {3}.

    (Die Äquivalenzklassen bezüglich dem normalen == sind natürlich weiterhin {1},{2} und {3}.)

    0
  • F

    volkard schrieb:

    R = {(1,1),(1,2),(2,2), (2,1),(3,3)}

    //...

    Sodele.
    1 äq 2. Damit liegen 1 und 2 in der selben Klasse
    Und 3 in der anderen.

    Die Äquivalenzklassen bezüglich äq sind also {1,2} und {3}.

    Dass 1 und 2 zu einander "äquivalent" (laut der Äquivalenzrelation) sind, habe ich verstanden. Ok. Nun möchte ich mit der Äquivalenzklasse alle äquivalenten Elemente zusammenfassen.

    1.) Doch befinden sich die nicht bereits alle in meiner Relation?

    (1,1) --> 1 ist zu 1 äquivalent
    (1,2) --> 1 ist zu 2 äquivalent
    (2,2) --> 2 ist zu 2 äquivalent
    usw.

    2.) Warum entstehen die Klassen {1,2} und {3}. Warum nicht {1,3} und {2}? Weil 1 nich zu 3 äquivalent ist?

    Danke

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  • B

    freakC++ schrieb:

    2.) Warum entstehen die Klassen {1,2} und {3}.

    Ich hatte dich gebeten, die Äquivalenzklassen stupide nach der Definition aufzuschreiben. Warum tust du das nicht einfach? Dann sollten sich die meisten deiner gegenwärtigen Fragen in Luft auflösen.

    0
  • F

    Ja, ich möchte halt nicht einfach alles stupide runterbeten können, sondern auch verstehen, was ich da mache.

    Ich habe mir noch einmal eure Antworteng genaustens durchgelesen. Deinem Wunsch kann ich so hoffentlich nachkommen.

    1. Äquivalenzklasse: Welche Elemente stehen mit der 1 (erstes Element der Grundmenge in Relation?). Das ist hier die 1 und die 2. Das ergibt die erste Äquivalenzklasse.

    Welche Elemente stehen mit der 3 in Relation? Das ist nur die 3. Also bildet das die zweite Äquivalenzklasse.

    Ich hoffe, dass das richtig ist. Jedenfalls komme ich auf dasselbe Ergebnis.

    Noch eins:

    Ich habe im Internet gerade eine andere Äquivalenzrelation gefunden:

    a ~ b genau dann, wenn a - b ein Vielfaches von 5 ist.

    Dies sei eine Relation auf die Rationalen Zahlen.

    1.) Liege ich mit meiner Behauptung richtig, dass es nur eine Äquivalenzkasse enthält. Sieht sie so aus:

    a_tilde = {a,b AUS X: (a-b) mod 5 == 0} //alle Zahlentupel, deren Differenz durch 5 teilbar ist

    Das bedeutet, dass meine Äquivalenzklasse nun Tupel enthält. Ist das ein Widerspruch zur Definition?

    Vielen Dank
    lg, freakC++

    0
  • M

    freakC++ schrieb:

    Ja, ich möchte halt nicht einfach alles stupide runterbeten können, sondern auch verstehen, was ich da mache.

    Das Verstehen kommt oft erst, indem man auf ein Beispiel stupide die Definitionen anwendet.

    Ich habe im Internet gerade eine andere Äquivalenzrelation gefunden:

    a ~ b genau dann, wenn a - b ein Vielfaches von 5 ist.

    Dies sei eine Relation auf die Rationalen Zahlen.

    1.) Liege ich mit meiner Behauptung richtig, dass es nur eine Äquivalenzkasse enthält. Sieht sie so aus:

    a_tilde = {a,b AUS X: (a-b) mod 5 == 0} //alle Zahlentupel, deren Differenz durch 5 teilbar ist

    Das bedeutet, dass meine Äquivalenzklasse nun Tupel enthält. Ist das ein Widerspruch zur Definition?

    Tut mir Leid, aber das ist kompletter Blödsinn. Wende die Definition stupide an.

    0
  • F

    mmmh...Versuch 2:

    In meiner Äquivalenzklasse stehen alle Elemente, die zu einem Element a laut der Relation äquivalent sind. Sei a = 4. Stehe jetzt in der Klasse alle Elemente t, für die gilt t-4 ist ein Vielfaches von 5??

    Danke euch 😃

    0
  • M

    freakC++ schrieb:

    mmmh...Versuch 2:

    In meiner Äquivalenzklasse stehen alle Elemente, die zu einem Element a laut der Relation äquivalent sind. Sei a = 4. Stehe jetzt in der Klasse alle Elemente t, für die gilt t-4 ist ein Vielfaches von 5??

    Danke euch 😃

    Definition -> anwenden. Wenn du länger als zwei Minuten überlegst, wirst du es garantiert hinbekommen.

    0
  • F

    Ich hab die Definition doch angewendet.

    a_tilde enthält alle Elemente x aus der Grundmenge, die mit a in Relation stehen.

    Jetzt habe ich bei meiner Lösung a gewählt. Also muss ich gucken, welche Elemente x zu a in Relation stehen. Also für welche (x-a) gilt, dass sie durch 5 teilbar sin.

    Was ist daran falsch?

    0
  • M

    freakC++ schrieb:

    Was ist daran falsch?

    Nix. Aber "Verstehen" heißt, auch selbst die Richtigkeit verifizieren zu können, statt so lange Vorschläge in ein Forum zu posten, bis einer sagt, dass du richtig geraten hast.

    0
  • F

    Vielleicht bist Du so schlau, dass Du niemals mehrere Versuche brauchst, um ein für dich völlig neues Thema zu begreifen und Aufgaben richtig zu lösen. Dann verbeuge ich mich wirklich in Demut.

    Ich habe lediglich drei Anläufe gebraucht, bis meine Überlegungen gestimmt haben (dass sie stimmen, schließe ich aus deinem "Nix").

    Die ganze Formelsprache ist völlig neu für mich, weswegen die Aussage "Definition anwenden" nicht immer für einen Neuling hilfreich sind...auch wenn es sich um triviale Themen handelt.

    So!

    Trotzdem danke ich dir für deine Hilfe 👍

    Viele Grüße
    freakC++

    0
  • F

    Noch eine andere Frage: Kann es sein, dass ein Element aus der Grundmenge immer nur eine Relation eingehen kann?

    Es gilt nämlich a_tilde geschnittenMit b_tilde = {}

    Danke 🙂

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  • B

    freakC++ schrieb:

    Noch eine andere Frage: Kann es sein, dass ein Element aus der Grundmenge immer nur eine Relation eingehen kann?

    ???

    Es gilt nämlich a_tilde geschnittenMit b_tilde = {}

    Zwei Äquivalenzklassen bezüglich einer Relation sind entweder gleich oder disjunkt. Aber was hat das mit der (sinnlosen IMO) Frage zu tun?

    0
  • F

    Oh ja...ich sehe meinen Fehler. Ich habe die obige Aussage falsch interpretiert 🙂

    Viele Grüße

    0
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