4. Frage zu Realtionen aus der Mengenlehre

Frage zu Realtionen aus der Mengenlehre

  • S

    Hallo zusammen,
    wie der Threadtitel schon vermuten lässt, hab ich schwirigkeiten Relationen der Mengenlehre zu verstehen.

    Was ich bisher verstanden hab, ist, dass eine Relation eine Teilmenge von einem geordnetem Paar ist:
    R ⊆ M x M

    angenommen a und b sind Elemente vom M, dann würde man doch Schreiben:
    aRb

    Doch was hab ich damit jetzt genau? und was ist mit den anderen Elementen von M, warum tauchen die da nicht auf? Und warum bilde ich überhaupt das kartesische Produkt von zwei gleichen Mengen?

    0
  • V

    Eine ganz ähnliche Sache hatten wir kürzlich. Lies das doch mal, vermutlich klärt es auch Deine Frage: freakC++ und seine Relationen

    0
  • S

    Ich bin jetzt mal deinem Link gefolgt und hab ein bisschen da gelesen, muss aber zugeben, das ich nach der hälfte der zweiten seite aufgegeben hab, da ich nichts verstanden hab.

    Am besten ist, ich geh erstmal einen Schritt zurück und bleib bei den geordneten Paaren:
    Was ich bisher Verstanden hab:

    • ein geordnetes Paar ist das kreuzprodukt von zwei Mengen.
    • die neue Menge hat |M|*|N| Elemente
    • wie die elemente bei den geordneten Paaren angeordnet werden

    Aus der Vorlesung hab ich mir jetzt noch etwas notiert wie (a,b).
    {{a}, {a,b}} = (a,b)

    Ich kann jetzt leider nicht sagen, was das (a,b) aussagt, noch kann ich etwas damit anfangen. Ich glaub das (a,b) ist einfach nur eine andere Schreibweise für geordnete Paare, oder?

    0
  • F

    Hallo seux,

    ich selbst habe mich vor einiger Zeit mit diesem Thema beschäftigt, wie volkard ja schon gesagt hat. Ich bin selbst kein Profi, daher vorsicht mit meinen Antworten :). Einige Anmerkungen habe ich aber:

    seux schrieb:

    ein geordnetes Paar ist das kreuzprodukt von zwei Mengen.

    Das Kreuzprodukt zweier Menge gibt alle möglichen Kombinationen an. Daher ist ein Paar ein Element des Kreuzprodukts.

    Bsp.: Sei A = {1,2} und B = {3, 4}. Dann ist A x B = {(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)}

    seux schrieb:

    die neue Menge hat |M|*|N| Elemente

    Wenn mit der neuen Menge das Kreuzprodukt meinst, liegst Du richtig.

    seux schrieb:

    {{a}, {a,b}} = (a,b)

    Warum das gelten sollte, leuchtet mir nicht ein. Vielleicht reicht mein Erstsemesterwissen da aber auch nicht aus. Prinzipiell würde ich sagen, dass das falsch ist, weil Du auf der linken Seite Mengen in Mengen und auf der rechten Seite ein Bitupel hast. Wolltest Du vielleicht irgendwie die Potenzmenge bilden?? Diese wäre dann aber falsch.

    seux schrieb:

    Ich kann jetzt leider nicht sagen, was das (a,b) aussagt, noch kann ich etwas damit anfangen. Ich glaub das (a,b) ist einfach nur eine andere Schreibweise für geordnete Paare, oder?

    Stell es dir doch einfach als Punkte im Koordinatensystem vor 🙂

    Viele Grüße
    freakC++

    0
  • V

    freakC++ schrieb:

    seux schrieb:

    {{a}, {a,b}} = (a,b)

    Warum das gelten sollte, leuchtet mir nicht ein.

    Nur eine Definition für Paare.

    Eigentlich
    (a,b) := {{a}, {a,b}}

    Man kann Paare auch auf 4711 andere Weisen definieren.

    Manche definieren natürliche Zahlen so:
    0:={}
    1:={{}}
    2:={{{}}}
    ...
    n':={n}

    Damit man die Sache auf die reine Mengenlehre zurückführen kann und dann Beweise knallhart durchziehen kann. Außerdem ist das so herrlich abgefahren. Und so obersonnlos, wenn man das als die einzig erlaubte Definition hinstellt. Dann kommen die Studis irgendwann daher und sagen einem, was natürliche Zahlen in Wirklichkeit sind.
    Zum Verständnis der Paare trägt diese Definition nichts bei.

    0
  • I

    seux schrieb:

    Am besten ist, ich geh erstmal einen Schritt zurück und bleib bei den geordneten Paaren:
    Was ich bisher Verstanden hab:

    • ein geordnetes Paar ist das kreuzprodukt von zwei Mengen.
    • die neue Menge hat |M|*|N| Elemente
    • wie die elemente bei den geordneten Paaren angeordnet werden

    Nein das ist falsch. Ein (geordnetes) Paar ist einfach nur eine Zusammenfassung von 2 Elementen (welche auch gleich sein können), wobei die Reihenfolge feststeht. Aufgeschrieben wird es, indem man die Elemente durch Komma getrennt in Klammern schreibt.
    Also: (1,2) ist ein geordnetes Paar. Genauso (a,523), (Hund,Katze), ({1,2,3},(1,5)) oder (0,0).
    Weil man als Grundlage der Mathematik vereinheitlicht die Mengensprache nutzen möchte und Paare erstmal keine Mengen sind, definiert man einfach, dass (a,b) eine andere Schreibweise für {{a}, {a,b}} ist. Das ist aber nur ein theoretisches Detail, das hat man mal gesehen und kann es wieder vergessen.

    Das kartesische Produkt zweier Mengen ist nun die Menge aller Paare, bei denen das erste Element in der ersten Menge und das zweite in der zweiten liegt. Beispiel: {1,2,3} x {a,b} = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)}. M x N hat dabei immer |M|*|N| Elemente.

    Eine Relation über einer Menge M ist nun formal als Teilmenge von M x M definiert. Auch das ist erstmal willkürlich, ist aber ein schöner Weg, es formal auszudrücken.
    Beispiel: Wir betrachten die Teilmenge {1, 2, 3} der natürlichen Zahlen und möchten dafür die Kleiner(<)-Relation definieren. Selbstverständlich ist die Definition hier intuitiv klar, aber wie schreibt man es auf? Indem man die Relation als Menge von Paaren betrachtet. In dem Fall wäre das < := {(1,2), (1,3), (2,3)}. Bei der Gleichrelation wäre es = := {(1,1), (2,2), (3,3)}. Aus (1,2) Element von < kann ich dabei schließen, dass 1 kleiner als 2 ist, und 2 ist gleich 2, da (2,2) Element von = ist. Daher kommt auch die Infixschreibweise. a<b wird definiert als andere Schreibweise für (a,b) € <. Da diese Schreibweise allgemein für Relationen R verwendet wird, schreibt man eben aRb.
    Wie aber definieren wir jetzt formal, was eine Relation überhaupt ist? < und = waren ja nur Beispiele. Wenn du dir die Paare in den Mengen ansiehst, wirst du feststellen, dass alle Elemente aus {1,2,3}, unserer Ursprungsmenge, kommen. Die Menge aller möglichen Paare, die aus Elementen von {1,2,3} gebildet werden können, war gerade {1,2,3} x {1,2,3}. Deshalb definiert man eine Relation über einer Menge M als Teilmenge von M x M.

    0
  • I

    volkard schrieb:

    Manche definieren natürliche Zahlen so:
    0:={}
    1:={{}}
    2:={{{}}}
    ...
    n':={n}

    Damit man die Sache auf die reine Mengenlehre zurückführen kann und dann Beweise knallhart durchziehen kann.

    Hm. Ich kenne 0 := {} und n' := {n, {n}}. Auch auf reine Mengenlehre zurückgeführt. Aber so Beweise zu führen, ist natürlich Schwachsinn, wir haben ja nicht ein Axiomsystem für natürliche Zahlen, um uns dann unsinnigerweise auf Mengen zu beschränken.

    0
Anmelden zum Antworten