Ring

icarus2

Beiweis von (-1)*r = -r:

(-1)*r + r = (-1)*r + 1*r = ((-1)+1)*r = 0*r = 0

==> (-1)*r + r = 0 | (...)+(-r)
// Hier vielleicht noch einen Zwischenschriit hinschreiben
<==> (1)*r = -r

Vielleicht hilft das das mal weiter fuer deinen Beweis.

Edit
Dass 0r = 0 gilt ist nicht selbstverstaendlich und muss auch bewiesen werden.

Häng doch einfach mal eine 0 vorne an (-r)*s dran und versuche, die anders darzustellen. z.B.
(-r)*s = 0 + (-r)*s = (-(r*s) + r*s)) + (-r)s
Jetzt steht -(rs) immerhin schon drin, musst nur noch ein wenig mit Assoziativität und Distributivgesetz spielen.

Btw, du studierst nicht zufällig an der TU Darmstadt?

freakC++

icarus2 schrieb:

Dass 0*r = 0 gilt ist nicht selbstverstaendlich und muss auch bewiesen werden.

Ich habe das Problem mal so gelöst:

0 = r*0 - r*0 = r(0 + 0) - r*0 = (r*0 + r*0) - r*0 = r*0 + (r*0 - r*0) = r*0

icarus2 schrieb:

(-1)*r + r = (-1)*r + 1*r = ((-1)+1)*r = 0*r = 0

Daran hatte ich auch schon gedacht, aber ich war mir nicht sicher, ob ich von Kommutativität ausgehen kann. Warum kann ich die Einsen nach vorne ziehen?

Angenommen der Schritt stimmt, wird alles einfach:

(-1) * r * s = r * (-1) * s = - r * s

freakC++

jokester_ schrieb:

Btw, du studierst nicht zufällig an der TU Darmstadt?

Ich arbeite mit dem Script, da es sehr ausführlich ist Warum?

freakC++ schrieb:

Ich arbeite mit dem Script, da es sehr ausführlich ist Warum?

Weil's mir doch irgendwie bekannt vorkam, was du hier so in letzter Zeit fragst
Das mit der Eins führt dich übrigens nirgendwo hin, da ein Ring nicht zwangsweise überhaupt eine 1, geschweige denn -1 enthält.

icarus2

jokester_ schrieb:

Das mit der Eins führt dich übrigens nirgendwo hin, da ein Ring nicht zwangsweise überhaupt eine 1, geschweige denn -1 enthält.

Doch.
Siehe formale Definition hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)

Im Artikel steht auch, dass manche Definitionen für Ringe keine 1 erfordern. Im Skript, das freakC++ nutzt, ist das auch so, und Ringe mit einer Eins heißen da schlicht "Ring mit Eins."

icarus2

jokester_ schrieb:

Im Artikel steht auch, dass manche Definitionen für Ringe keine 1 erfordern. Im Skript, das freakC++ nutzt, ist das auch so, und Ringe mit einer Eins heißen da schlicht "Ring mit Eins."

Hast recht. Offenbar wird die Existenz von 1 nicht immer gefordert.

freakC++

Noch eine Verständnisfrage: Eine Gruppe ist eine Menge, eine Ring und ein Körper sind auch Mengen.

Eine Gruppe ist eine Menge mit genau einer Verknüpfung. Diese Gruppe muss einen gewissen Axiomensatz erfüllen, um überhaupt eine Gruppe zu sein.

Ein Ring dagegen sind jetzt alle Elemente einer Gruppe mit der Verknüpfung +, die ich mit einander multiplizieren kann?! Also gelten hier Kommutativität und das Distributivgesetz.

Nun ist ein Körper eine Mengem, wo ich auch noch dividieren kann. Jetzt habe ich aufgeschnappt, das ein Ringe aus genau einer Gruppe besteht und ein Körper aus zwei.

Warum? Ein Körper ist doch einfach nur ein kommutativer Ring, der die 1 und nicht die 0 enthält. Warum brauche ich dafür plötzlich zwei Gruppen?

lg, freakC++

icarus2

Ein Ring ist eine Abelsche Gruppe bezueglich der Addition und ein Monoid bezueglich der Multiplikation. Ausserdem gilt das Distributivgesetz.

In einem Monoid wird die Existens von Inversen nicht gefordert. Damit du aber dividieren kannst braucht es Inverse. Deshalb muss ein Koerper eine Gruppe bezueglich der Multiplikation bilden(nur 0 hat kein Inverses bezueglich der Multiplikation).

Ben04

freakC++ schrieb:

Noch eine Verständnisfrage: Eine Gruppe ist eine Menge, eine Ring und ein Körper sind auch Mengen.

Nein! Eine Gruppe ist ein Tupel (M,x) das aus einer Menge M und einer Verknüpfung x besteht. Du kannst auf der selben Menge verschiedene Verknüpfungen definieren* und erhältst so unterschiedliche Gruppen. Meisten sind die Verknüpfungen klar und deswegen schreibt man z.b. dass Z eine Gruppe ist und meint eigentlich, dass (Z,+) eine Gruppe ist.

* (Außer die Menge hat nur ein Element)

freakC++ schrieb:

Ein Ring dagegen sind jetzt alle Elemente einer Gruppe mit der Verknüpfung +, die ich mit einander multiplizieren kann?! Also gelten hier Kommutativität und das Distributivgesetz.

Ein Tupel (M,+,) heißt Ring (mit Eins) wenn:
* M Menge ist
* (M,+) abelsche Gruppe ist. Das neutrale Element wird per Def. durch das Symbol 0 dargestellt.
* (M,) Monoid ist. Das neutrale Element wird per Def. durch das Symbol 1 dargestellt
* Distributivgesetze gelten

Elemente einer Gruppe (G,o) kannst du apriori nicht miteinander multiplizieren. Wie man multipliziert muss erst definiert werden. Falls diese weitere Verknüpfung * die oberen Axiome erfüllt (und (G,o) abelsch ist), dann ist das Tupel (G,o,*) ein Ring.

Mir ist kein Weg bekannt wie man zu einer beliebigen abelschen Gruppe eine multiplikative Gruppe definieren kann, so dass ein Ring entsteht. In allen Fällen die ich kenne kommt die Definition der Multiplikation von außen und ergibt sich nicht auf natürliche Weise aus den Gruppenaxiomen.