durch 0 teilen
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Hallo zusammen,
im Resklassenring Z_{4} gibt es Nullteiler. Nullteiler sind Elemente eines Rings, die ungleich 0 sind, aber bei Multiplikation 0 ergeben.
Beispielsweise ist 2 * 2 = 0, wobei die 2 Reste sind.
Impliziert die Existens von Nullteilern nicht auch, dass eine Division durch 0 möglich ist? Oder funktioniert das nicht, weil in Ringen die Division gar nicht definiert ist?
Vielen Dank
lg, freakC++
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Nein. Das impliziert nicht, dass es eine Division durch Null gibt, sondern vielmehr, dass 2 in der Struktur Z_4 kein multiplikatives Inverses besitzt.
Zum Beispiel bei der Matrixmultiplikation aus der linearen Algebra kann es auch passieren, fuer zwei Matrizen A, B (beide nicht die Nullmatrix) gilt:
A * B = 0. Das heisst dann, dass A oder B singulaer und somit nicht invertierbar ist.
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Was verstehst du unter Division? Das musst du erstmal definieren um sagen zu können, ob es so etwas gibt.
Ich definiere mal, dass a/b die eindeutige Lösung von a=x*b ist, falls es die gibt. So nun kann man sehr schnell sehen ob man immer durch 0 teilen kann:
1/0 -> 1=x*0 -> keine Lösung -> geht nicht immer
Ob man überhaupt durch 0 teilen kann sieht man auch schnell
a/0 -> a=x*0 -> keine Lösung falls 0 != a und Anzahl der Ringeelemente viele falls a = 0.
Teilen durch 0 geht mit meiner Definition folglich genau im trivialen Ring mit einem Element.
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In Ringen ist, wie du bereits sagtest, die Division gar nicht definiert. In Körpern schon. Allerdings bedeutet "division definiert", dass für jedes Element ein inverses existiert, so dass x*x^-1 = 1. Deswegen kann ein Ring mit Nullteilern kein Körper sein.
Du kannst dir natürlich auch die Untermenge von Z_4 anschauen, die nur die invertierbaren Elemente enthält. Das Ding ist dann sogar ein Körper
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otze schrieb:
In Ringen ist, wie du bereits sagtest, die Division gar nicht definiert. In Körpern schon. Allerdings bedeutet "division definiert", dass für jedes Element ein inverses existiert, so dass x*x^-1 = 1. Deswegen kann ein Ring mit Nullteilern kein Körper sein.
Das gilt aber nur, dass irgendwie festgelegt ist, dass die Division durch 0 nicht erlaubt ist. Ist das ein Axiom oder folgt das aus etwas anderem?
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otze schrieb:
Du kannst dir natürlich auch die Untermenge von Z_4 anschauen, die nur die invertierbaren Elemente enthält. Das Ding ist dann sogar ein Körper
Demnach wäre {1,3} ein Körper mit std. + und *? Da muss mindestens noch die 0 rein und selbst dann wäre es nicht additiv abgeschlossen da 1+1 = 2 und damit nichtmal ein Ring.
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freakC++ schrieb:
Das gilt aber nur, dass irgendwie festgelegt ist, dass die Division durch 0 nicht erlaubt ist. Ist das ein Axiom oder folgt das aus etwas anderem?
das führt zu widersprüchen.
In einem Ring gilt bereits folgendes:
0*x= x* 0 = 0 (i)
und
x*1=1*x=x (ii)
(i) Kannste ohne Inversen beweisen (tue ich jetzt aber nicht), (ii) ist das Axiom des neutralen Elements der Multiplikation.Nun möchtest du aber eine Inverse für einen Nullteiler finden. Machen wir das mal.
sei a*b = 0.
Angenommen, das Ding hat ne Inverse, dann existiert ein i für das gilt:
(a*b)*i = 1
Es gilt aber auch durch (i):
(a*b)*i = 0*i= 0
=> 1 = 0Nun könnte man ja annehmen, dass das additive und multiplikative Inverse identisch sind. Dann widersprechen sich aber (i) und (ii) da : 0=0*x=1*x=x=>0=x für alle x => dein Körper besitzt genau 1 element. Und ob das Ding dann wirklich noch ein Körper ist...
@Ben04 ohja du hast recht. Das war Bullshit von mir.
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Ben04 schrieb:
otze schrieb:
Du kannst dir natürlich auch die Untermenge von Z_4 anschauen, die nur die invertierbaren Elemente enthält. Das Ding ist dann sogar ein Körper
Demnach wäre {1,3} ein Körper mit std. + und *? Da muss mindestens noch die 0 rein und selbst dann wäre es nicht additiv abgeschlossen da 1+1 = 2 und damit nichtmal ein Ring.
Wenn man allerdings nicht die std. Addition und Multiplikation definiert, kann man diese zwei-elementige Menge durchaus zu einem Körper machen.
(Einfach mal in Gedanken die 3 Null nennen und GF(2) ansehen)
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Was aber keine wirkliche Erkenntnis darstellt, da man jede zweielementige Menge zu 'nem Körper mache kann, wenn man sich die Verknüpfungen frei aussuchen kann.
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Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes mit 1 an einer Menge, die die 0 enthält, ist der Nullring. Daher kann man nur im 0-Ring durch 0 dividieren.