Konvergenz einer Reihe

otze

Hi,

Ich sitze hier gerade vor einer Mathe Aufgabe, bei der ich scheinbar einen Balken vorm Kopf habe. Hat vielleicht jemand einen Denkansatz?

Die Aufgabe hat 2 Teilaufgaben:

1. p_n=e-Σ_k=(1..n) 1/(k!) Zeige, dass Σ_n=(1...) p_n konvergiert

2. q_n=e-(1+1/n)ⁿ Zeige, dass Σ_n=(1...) q_n divergiert

1. habe ich gelöst und der Grenzwert ist e. Bei 2 sehe ich aber keinen Ansatz. Hat vielleicht jemand einen kleinen Stubs in die richtige Richtung?

Michael E.

Mach mal nen Indexshift (n=0,...). Zusammen mit einer einfachen Abschätzung und der Abschätzung über die Tangente der e-Funktion an der Stelle 0 erhälst du die harmonische Reihe.

Edit: Verdammt, die Abschätzung war zu grob, sorry.

otze

Danke für deine Hilfe. Musste das Arbeitsblatt ohne die Aufgabe abgeben. Aber ich würde doch so langsam wissen, wie man die löst. Ableitungen oder tangenten etc durften wir nicht verwenden.

Jester

Wie wäre es, wenn du die Differenz zweier folgenglieder betrachtest:

q_{n+1} - q_{n} = (1+1/n)^{n}(1 + 1/n - 1) = 1/n (1+1/n)^{n}

Letzterer Term lässt sich durch 2 bzw. 3 nach oben bzw. unten abschätzen. Daraus müßte sich doch was machen lassen.

otze

Die summe über 1/n ist divergent...hmmm...ja, das sähe gut aus. Ich sehe aber momentan nicht, wie du die Differenz bildest.

q_{n+1} - q_{n} = (1+1/(n+1))ⁿ⁺¹-(1+1/n)ⁿ

Hast du vielleicht im ersten Term nicht 1/(n+1) sondern 1/n verwendet? dann komme ich auf dein Ergebnis.

Jester

Japp, Rechenfehler... Evtl. Lässt sich's trotzdem retten?

otze schrieb:

1. p_n=e-Σ_k=(1..n) 1/(k!) Zeige, dass Σ_n=(1...) p_n konvergiert

.....

1. habe ich gelöst und der Grenzwert ist e.

Das glaube ich dir nicht. Ich nehme an, die Reihe konvergiert; dann konvergiert sie auch absolut, weil alle Glieder positiv sind. Dann darf ich wild umher tauschen.

p_n=e-Σ_k=(1..n) 1/(k!) = Σ_{k=(n+1..[e]infin[/e])} 1/(k!)

Also
Σ_n=(1...) p_n = Σ_n=(1...) Σ_{k=(n+1..[e]infin[/e])} 1/(k!)

Oder anders:

(1/2! + 1/3! + 1/4! + ...) + (1/3! + 1/4! + ...) + (1/4! + ...) + ....

Das sieht aus wie

1 * 1/2! + 2 * 1/3! + 3 * 1/4! + ......... = Σ_n=(1...) n/(n+1)!

Und das ist ganz sicher nicht e :xmas1:

Bashar

1. ist sowieso divergent, weil e-sum(k=1..n) 1/k! >= 1 ist. Soll k vielleicht bei 0 loslaufen?

Bashar schrieb:

1. ist sowieso divergent, weil e-sum(k=1..n) 1/k! >= 1 ist

Warum?

Bashar

Warum was?

Warum ist

e -sum(k=1..n) 1/k! = sum(k=n+1..∞) 1/k! >= 1 ?

Wenn n nur groß genug ist, kann ich die Summe doch unter jede Schranke pressen.

Bashar

Warum ist

e -sum(k=1..n) 1/k! = sum(k=n+1..∞) 1/k! >= 1 ?

e = sum(k=0..oo) 1/k!, also ist p_n = 1 + sum(k=n+1..oo) 1/k!

Bashar schrieb:

e = sum(k=0..oo) 1/k!, also ist p_n = 1 + sum(k=n+1..oo) 1/k!

Danke. Ich gehe einmal in die Ecke und schäme mich

otze

Bashar schrieb:

1. ist sowieso divergent, weil e-sum(k=1..n) 1/k! >= 1 ist. Soll k vielleicht bei 0 loslaufen?

oh ja. sorry.