Aussagen innerhalb Schnittmengen von Axiomensystemen
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Hi,
gesetzt den Fall, es gibt einige Axiomensysteme, die zum Teil gleiche Axiome enthalten, die (also die Systeme) aber nicht aufeinander aufbauen.
Wenn ich nun Axiome nehme, die in allen Systemen existieren und daraus eine wahre Aussage ableite, ist diese Aussage dann in allen Systemen gültig?
Intuitiv denke ich, es sollte so sein. Aber was sagt die Mathematik dazu?
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wenn du zum Beweis nur die Axiome in der Schnittmenge als Grundlage nimmst, ist die Aussage in allen Axiomensystemen bewiesen. Du kannst nämlich einfach exakt den Beweis in all diesen Systemen benutzen um die Aussage zu beweisen.
Das heißt nicht, dass der Beweis nicht in den jeweiligen Systemen zu Widersprüchen mit anderen Axiomen führen kann.
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otze schrieb:
Das heißt nicht, dass der Beweis nicht in den jeweiligen Systemen zu Widersprüchen mit anderen Axiomen führen kann.
Wenn ich aber aus Axiomen eines Systems eine Aussage ableiten kann, die einer anderen Aussage widerspricht, die ich aus Axiomen desselben Systems ebenfalls ableiten kann, dann ist dieses System doch fehlerhaft, also nicht widerspruchsfrei, oder?
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Widersprüchlichkeit ist halb so schlimm. Denn:
Kurt Gödel schrieb:
Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.
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ntrnt schrieb:
Widersprüchlichkeit ist halb so schlimm. Denn:
Kurt Gödel schrieb:
Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.
Was IMHO nur auf Systeme zutrifft, die die Theorie der Natürlichen Zahlen enthalten. Also die sich "gödelisieren" lassen.
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Ja, richtig. Dann sind sie nämlich "hinreichend mächtig".
Oder verstehe ich dich gerade falsch?
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Nachtrag: Meine Bemerkung oben bezog sich darauf, dass Widersprüchlichkeit per se nicht die "Güte" eines formalen Systems beeinträchtigt.
Wenn du ein formales System hast, das nicht so mächtig wie die Peano-Arithmetik ist, und trotzdem widersprüchlich, dann ist das wieder eine andere Sache.
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Mal ganz abgesehen von der Gödel-Diskussion...
Z schrieb:
otze schrieb:
Das heißt nicht, dass der Beweis nicht in den jeweiligen Systemen zu Widersprüchen mit anderen Axiomen führen kann.
Wenn ich aber aus Axiomen eines Systems eine Aussage ableiten kann, die einer anderen Aussage widerspricht, die ich aus Axiomen desselben Systems ebenfalls ableiten kann, dann ist dieses System doch fehlerhaft, also nicht widerspruchsfrei, oder?
Wenn ein System nicht widerspruchsfrei ist, kannst Du eh alles ableiten - Deine Forderung ist also trivialerweise erfüllt.
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ntrnt schrieb:
Widersprüchlichkeit ist halb so schlimm. Denn:
Kurt Gödel schrieb:
Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.
Und die Begründung deinerseits? Normale Menschen würden schlussfolgern, dass man dann mit Unvollständigkeit leben muss. Deine Folgerung ist dagegen ein bisschen neben der Spur (was nicht heißt, dass widersprüchliche Systeme völlig uninteressant sind, aber ein bisschen mehr als der Gödelsche Unvollständigkeitssatz muss es dazu schon sein)
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Früher oder später stolpert man über Widersprüchlichkeit. Das allein muss nicht heißen, dass ein System unnütz ist.
Eben deswegen, weil die Unvollständigkeit eine fruchtbare Alternative darstellt.
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... dann ist dieses System doch fehlerhaft, also nicht widerspruchsfrei
Also mit deiner Logik ist es wohl nicht weit hergeholt. Die Antwort steckt schon in der Frage, ist also offensichtlich.
Meine Bemerkung oben bezog sich darauf, dass Widersprüchlichkeit per se nicht die "Güte" eines formalen Systems beeinträchtigt.
Doch ist sie. Oder warum haben sich alle Mathematiker fuer widerspruchsfrei entschieden im Gegensatz zu vollstaendig?
Früher oder später stolpert man über Widersprüchlichkeit. Das allein muss nicht heißen, dass ein System unnütz ist.
Eben deswegen, weil die Unvollständigkeit eine fruchtbare Alternative darstellt.Zu Satz 1: Eigentlich nicht. Zu Satz 2: Doch, weil man alles ableiten kann. Zu Satz 3: Unvollstaendigkeit als fruchtbare Alternative? Vielleicht solltest du Politiker werden. Klingt fuer mich wie pseudophilosophischer Bullshit.
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Gilt für eine Menge Axiomen (Domain Modelle), dass sie für eine Menge von n Systemen gelten. Dann gilt der Schluß, dass sie diese auch für die Schnittmenge der Systeme gelten (System n+1) NICHT uneingeschränkt!
Es können Anomalien in der Schnittmenge auftauchen, die die vollständige Gültigkeit der Axiome widerlegen! Und das ist der eigentliche Kern von Gödel's Unvollständigkeitssatz.
http://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_UnvollständigkeitssatzAußerdem sollte man sich immer die Definition eines Axioms vor Augen halten:
Ein Axiom ist ein nicht deduktiv abgeleiteter Grundsatz einer Theorie (Wissenschaft, eines axiomatischen Systems).
http://de.wikipedia.org/wiki/Axiom
Und Prinzipien können bekanntlich immer über den Haufen geworfen werden. :xmas1:
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knivil schrieb:
Oder warum haben sich alle Mathematiker fuer widerspruchsfrei entschieden im Gegensatz zu vollstaendig?
Ich würde sagen, weil sie - möglicherweise - die logischere, bessere, sinnvollere (oder wie auch immer du es nennen willst
) Alternative darstellt? Die Mathematiker sind übrigens ganz offensichtlich über Widersprüchlichkeit gestolpert.knivil schrieb:
Eigentlich nicht.
s.o.
knivil schrieb:
Doch, weil man alles ableiten kann.
Ja. Wenn ich mich für die Widersprüchlichkeit entscheide. Ansonsten ist das System nicht unnütz - siehe die natürlichen Zahlen.
Wieso muss das denn gleich ausufern...mein Unreg-Kommentar oben war nicht als qualifizierter Beitrag zur Diskussion geeignet, das ich ja durchaus ein. Aber um das nochmal deutlich zu machen: Wenn ein System die Ableitung eines Widerspruchs zulässt, ist das nicht gut. Aber diesen Widerspruch kann (bzw. muss) ich (wenn ich auf Vollständigkeit aus bin) selbst mit Systemen herbeiführen, die ansonsten bestens ihren Dienst tun.
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ntrnt schrieb:
Wieso muss das denn gleich ausufern...mein Unreg-Kommentar oben war nicht als qualifizierter Beitrag zur Diskussion geeignet, das ich ja durchaus ein. Aber um das nochmal deutlich zu machen: Wenn ein System die Ableitung eines Widerspruchs zulässt, ist das nicht gut.
Und warum schreibst du dann "halb so schlimm"?
BTW der einzige Zusammenhang, indem ich bisher davon gehört habe, dass man mit widersprüchlichen Systemen arbeitet, war in einem konstruktivistischen Zusammenhang, indem man nur Systeme betrachtet hat, in denen die Ableitung des Widerspruchs eine gewisse Tiefe hat (z.B. 10^100 Schritte). Frag mich aber nicht nach Details.
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Das war mehr auf die Tatsache bezogen, dass es nicht so unnormal ist, auf Widersprüchlichkeit zu stoßen (nicht in widersprüchlichen Systemen zu rechnen. War zu lax formuliert), wie vielleicht zu vermuten wäre.
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Ja. Wenn ich mich für die Widersprüchlichkeit entscheide. Ansonsten ist das System nicht unnütz - siehe die natürlichen Zahlen.
Seit wann kann ich mit dem System der natuerlichen Zahlen Widersprueche ableiten?
Wenn ein System die Ableitung eines Widerspruchs zulässt, ist das nicht gut. Aber diesen Widerspruch kann (bzw. muss) ich (wenn ich auf Vollständigkeit aus bin) selbst mit Systemen herbeiführen, die ansonsten bestens ihren Dienst tun.
Nenne 3 Beispiele aus der mathematischen "Praxis"!
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*gelöscht*
Ich hab knivils Zitate falsch zugeordnet. Man kann da beim quote-Tag übrigens angeben, von wem die stammen ...
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Ich geb's auf. Meine Posts waren (wenn man sie liest als "Systeme in denen falsche Aussagen ableitbar sind sich nicht schlecht") Quatsch.
Nein, ich hatte nicht die Absicht zu trollen.Da ich aber offensichtlich irgendetwas Fundamentales nicht durchblickt habe, hier mein Verständnis der Sache:
Widersprüche sind böse. Das ist noch klar. Die natürlichen Zahlen enthalten keine Widersprüche. Aber es lassen sich Aussagen konstruieren, deren Wahrheitsgehalt nicht unmittelbar bestimmt werden kann.
Damit lässt sich auf zwei Arten umgehen:
a) Ich sage der Satz ist wahr und akzeptiere Unvollständigkeit
b) Ich sage der Satz ist falsch und "akzeptiere" WidersprüchlichkeitEntscheide ich mich für b) ist mein System hinfällig. Also entscheide ich mich für a) (was ich deshalb pseudophilosophischerweise die "fruchtbarere" Alternative nannte).
Die Tatsache, dass ich in den natürlichen Zahlen und mächtigeren Systemen soweit komme, dass ich mich zwischen Unvollständigkeit und Widersprüchlichkeit "entscheiden" muss, hat mich zur Aussage verleitet, dass letztere etwas ist, was nur "halb so schlimm" sei, wenn man ihr irgendwann begegnet. Wobei meine Auslegung von "begegnen" hier durchaus etwas...kreativ sein mag.
Wenn ihr nun nach allem Unbehagen trotzdem so freundlich wärt, und meine Sicht klären würdet, wäre ich euch sehr dankbar
@knivil:
Zu 1.: s.o.
Zu 2.: Nach obigem (falschem?) Verständnis: Jedes beliebige prädikatenlogische System, das so mächtig wie die Peano-Arithmetik ist (die genauen Bedingungen müsste man nachschlagen).
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ntrnt schrieb:
Zu 1.: s.o.
Der Satz von Goedel ist kein Widerspruch. Falls du das nicht meinst, sehe ich kein konkretes Beispiel.
Jedes beliebige prädikatenlogische System, das so mächtig wie die Peano-Arithmetik ist (die genauen Bedingungen müsste man nachschlagen).
Nur weil ich Praedikaten natuerlich Zahlen zuordne und in dem neuen Praedikatensystem einen Widerspruch generiere heisst das noch lange nicht, dass die natuerlich Zahlen auch widerspruechlich sind.
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Ich dachte, wenn ich mich für b) entscheide, entsteht ein widersprüchliches System (das dann nicht mehr das ursprüngliche, sondern ein anderes ist, wenn du das meinst)?
Wenn ich hier von "den natürlichen Zahlen" rede, meine ich damit die Peano-Arithmetik. Nicht die Menge {0,…} (oder {1,…}, wenn man drauf steht).