Von Wertetabelle auf logischen Ausdruck schließen

seux

Hallo ihr lieben,
Angenommen ich habe drei Aussagen, die Entweder wahr oder falsch sein können. Die Aussagen können mit den Operatoren UND, ODER, NICHT miteinander zu einem neuem Ausdruck verknüft werden. Wie kann ich alledings von einer schon vorgegeben Wertetafel auf den entsprechenden Ausdruck schleißen?

Beispiel:

A     B     C     ???
---------------------
w     w     w      w
w     w     f      f
w     f     w      f
w     f     f      f
f     w     w      w
f     w     f      w
f     f     w      w
f     f     f      f

Gibt es da irgendwie einen Trick für, weil durchprobieren scheint mir da einfach zu blöd.

greets
seux

Bashar

Aus der Wertetabelle kann man direkt einer der beiden kanonischen Normalformen ablesen: Kanonische disjunktive Normalform (KDNF) oder kanonische konjunktive Normalform (KKNF).

Ich führ's mal für die KDNF vor:

1. Alle w-Zeilen raussuchen:
w w w w
f w w w
f w f w
f f w w

Jetzt einfach "abschreiben": Mit w eingehende Variablen werden direkt übernommen, mit f eingehende Variablen werden negiert. Jede Zeile ist eine Und-Verknüpfung, die werden zum Schluss alle miteinander oder-verknüpft. Ergebnis:
$ABC \vee \bar ABC \vee \bar AB\bar C \vee \bar A\bar BC$

Zur Erstellung minimaler Ausdrücke geb ich mal als Stichworte Karnaugh-Plan und Quine-McCluskey-Verfahren.

seux

Bashar schrieb:

$ABC \vee \bar ABC \vee \bar AB\bar C \vee \bar A\bar BC$

Danke schonmal Die einzelnen Aussagen sind über ODER verknüpfungen miteinander verbunden oder?
Also:
A | B | C v !A | B | C v ...
wobei | für ODER steht und ! für NICHT.

Nein, die sind UND-verknüpft!

v = oder
^ = und

seux

Oh man, klar. Es ist schon spät, ich werd es morgen ausprobieren..

Bashar

Das Und, $\wedge$ , hab ich der Einfachheit halber weggelassen.

seux schrieb:

A     B     C     ???
---------------------
w     w     w      w
w     w     f      f
w     f     w      f
w     f     f      f
f     w     w      w
f     w     f      w
f     f     w      w
f     f     f      f

Gibt es da irgendwie einen Trick für, weil durchprobieren scheint mir da einfach zu blöd.

ja, du unterteilst die Tabelle gedanklich in zwei Hälften, nämlich eine obere für A=w und eine untere für A=f.
Dann siehst du:

für A=w ist ???=B UND C.
für A=f ist ???=B ODER C.

zusammen:

???=(A UND B UND C) ODER (NICHT(A) UND (B ODER C))

Wenn man das nicht sieht, kommt man übrigens auch mit ein paar kleinen Umformungen (vor allem immer wieder systematisch ausklammern) von Bashars Ausdruck auf den von !rr!rr_.

$ABC \vee \bar ABC \vee \bar AB\bar C \vee \bar A\bar BC$
$= ABC \vee \bar A (BC \vee B\bar C \vee \bar BC)$
$= ABC \vee \bar A (B (C \vee \bar C) \vee \bar BC)$
$= ABC \vee \bar A (B \vee \bar BC)$
$= ABC \vee \bar A (B \vee C)$

seux

Danke an euch, hat mir super geholfen

PhilippHToner

Visuell geht es mit einem KV-Diagramm am schönsten, finde ich!

Aus der technischen Informatik:
http://de.wikipedia.org/wiki/Karnaugh-Veitch-Diagramm

gruß Philipp