Funktion -> Potenzreihe

[Jodocus]

Hallo!
Ich soll eine bestimmte Funktion als Potenzreihe ausdrücken und frage mich, ob man es nicht irgendwie eleganter lösen könnte.
Mein Weg wäre, die Funktion zu taylorentwickeln, bis ich irgendein Muster erkenne und dann versuche, daraus eine Reihe zu bilden. Ich hab mit wolframalpha mal geschummelt und mir die Taylorreihe angeschaut. Um da ein sich wiederholendes Muster zu sehen muss ich bis einschließlich zur 6. Ordnung entwickeln, das wäre ganz schön aufwändig. Und wenn ich mir dann die unendliche Reihe mehr oder weniger aus der Partialsumme der Taylorreihe erraten habe, müsste ich danach ja eigentlich noch mal beweisen (mit Induktion oder so), dass die Reihe gleich dem Funktionswert ist.
Gibt es einen einfacheren Weg?

[Jester]

Zeig doch mal die Funktion

[Jodocus]

Ich muss zu meiner Schande gestehen, dass ich bisher zu faul war, Latex zu lernen.
Die Funktion lautet:

ƒ: { z Є ℂ: |z| < 1 } → ℂ
z → 1/(1+z²)

Die wird zur Taylorreihe:

f(0) = 1
f'(z) = -2z * 1/((1+z²)²) f'(0) = 0
f''(z) = -2/((1+z²)²) + 8z²/((1+z²)^3) f''(0) = -2
f'''(z) = ... auf mehr hatte ich bisher keine Lust, deshalb wolframalpha:

f(z) = 1 - z² + z^4 + z^6 - O(7)
Und als unendliche Reihe:
∑ 0.5 * ((-i)^n + i^n) * z^n mit n von 0 bis ∞

Ich bin aber eigentlich weniger an einer maßgeschneiderten Lösung interessiert als an einen Tipp für einen Ansatz, der einfacher ist, als meiner.

[Bashar]

$\frac{1}{1+z^2}$ sieht doch stark nach einer geometrischen Reihe aus ($\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}$). Das ergibt dann aber andere Vorzeichen als bei dir. Überprüf das mal.

[Jodocus]

Die Vorzeichendreher sind beim Postschreiben passiert, sorry, die korrigiere ich.

[Jodocus]

Dass das die geometrische Reihe ist, ist klar. Nur, wie hilft mir die weiter?

[Bashar]

Du kannst dann direkt (mit $q := -z^2$) die Reihe ablesen: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-z^2)^n$.

[Jodocus]

Das muss ich dann aber trotzdem noch beweisen, oder?

[Jester]

Glaubst du die geometrische Reihe? Und glaubst, dass das ersetzen von q durch -z^2 auf beiden Seiten einer Gleichung wieder eine Gleichung ergibt?

[Bitte ein Bit]

Das muss ich dann aber trotzdem noch beweisen, oder?

Ich ahne da etwas.

Prinzipiell must du, je nach Vorlesung/Unterricht, alles beweisen, aber der Beweis ist hier sehr kurz. Du ersetzt wie schon gesagt -(z^2) durch q und bekommst dadurch 1/(1-q). Gemäß Def... aus Vorlesung gilt 1/(1-q) = InfSum(q^k) sofern |q| < 1 ist. Da |z| gemäß Aufgabe kleiner 1 ist gilt, das z^2...

Ich glaube so in die Richtung dürfte das Ganze gehen.

Später schreibt man es dann "wie man trivialerweise sehen kann".