Summen n-ter Potenzen identisch -> Umordnung
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Hallo,
Inc würde gerne folgendes zeigen:
Gegeben sind 2 mal n Zahlen x\_1, \dots , x\_n und y\_1, \dots , y\_n und es gelte:
\sum_{i=1}^{n} x\_i^j = \sum\_{i=1}^{n} y_i^j \forall j=1, \dots ,n
Dann soll schon Folgen, dass die y-s eine Umordnung der x-s sind.
Es würde erstmal reichen, dass für paarweise verschiedene x-s zu zeigen, weil man dann die allgemeine Aussage über ein Störungsargument kriegen kann. Wenn die x-s paarweise verschieden sind, hat man ja (über alle Permutationen der x-s) n! Viele Lösungen der Gleichung gefunden, es würde also reichen zu zeigen, dass es maximal n! Lösungen der obigen Gleichung (das heißt wenn man die rechte Seite durch fixe Konstanten ersetzt) gibt.
Viele Grüße,
Felix
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http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities
Vielleicht hilft dir das.
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(Mit den Formeln kannst du aus den Potenzsummen die elementarsymmetrischen Polynome berechnen. Aus der Gleichheit der Potenzsummen für 1 <= k <= n folgt dann die Gleichheit aller elementarsymmetrischen Polynome in den x_i, y_i und daraus die Gleichheit der x_i, y_i bis auf Permutationen.)
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(Letzteres, weil die Mengen der Nullstellen zweier gleicher Polynome gleich sind.)
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Vielen Dank!
