Integral mit Substitution lösen

[Antoras]

Hallo,

gegeben ist folgendes Integral:

\int_1^8\!e^{-\sqrt[3]x}\,\mathrm{d}x

Ich komme momentan nicht weiter das Integral aufzulösen. Ich hab versucht das ganze über die Substitutionsregel

$\int_{a}^{b} f(g(t)) \cdot g'(t)\,\mathrm{d}t = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,\mathrm{d}x$

zu lösen:

$f(x):=e^{g(x)}$

g(x):=-\sqrt[3]x=-x^\frac{1}{3}

$g'(x)=-\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=-\frac{1}{3x^\frac{2}{3}}$

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{3x^\frac{2}{3}}\Rightarrow\mathrm{d}x=\mathrm{d}u3x^\frac{2}{3}$

$\int_1^8\!e^u\mathrm{d}u3x^\frac{2}{3}$

Ganz am Ende habe ich aber nach wie vor ein x, das ich nun nicht aufgelöst bekomme. Auch habe ich noch nicht verstanden wie ich nun geschickt mit den Integralgrenzen arbeiten soll. Kann mir jemand sagen was ich da jetzt machen muss bzw. wie es da weitergeht?

[lustig]

Antoras schrieb:

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{3x^\frac{2}{3}}\Rightarrow\mathrm{d}x=\mathrm{d}u3x^\frac{2}{3}$

$\int_1^8\!e^u\mathrm{d}u3x^\frac{2}{3}$

So funktioniert das nicht... wie du schon gesagt hast, ist da noch ein x. Berechne stattdessen lieber dx/du:
$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(-u^3)=-3u^2\Rightarrow\mathrm{d}x=-3u^2\mathrm{d}u$

Das Resultierende Integral kannst du dann mit Hilfe der Produktregel (2x anwenden) integrieren.

[Antoras]

Super, das hilft mir weiter. Die Umformung von $x^\frac{2}{3}$ nach (\sqrt[3]x)^2 hab ich total übersehen.

Habe nun die Stammfunktion -3e^\sqrt[3]x((\sqrt[3]x)^2+2\sqrt[3]x+2) und den Integralwert $15e(-2e+1)$ herausbekommen.