4. Funktion: Polarkoordinatenform -> Karthesische Form

Funktion: Polarkoordinatenform -> Karthesische Form

  • V

    Hallo,

    ich möchte die Funktion

    r(phi) = 3 ( cos (phi) + 1 )

    in karthesischen Koordinaten darstellen.

    Also y = f (x)

    Reine Koordinaten umrechnen ist kein Problem aber mit
    der Funktionsdarstellung komme ich nicht weiter.

    Hat jemand einen Tipp für mich?

    Vielen Dank im Voraus,

    Andreas

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  • ?

    Vlado58 schrieb:

    Hallo,

    ich möchte die Funktion

    r(phi) = 3 ( cos (phi) + 1 )

    in karthesischen Koordinaten darstellen.

    Also y = f (x)

    Das geht nicht. r ist keine Funktion in karthesischen Koordinaten (nicht injektiv).

    Man kann r aber als Kurve darstellen. Wenn ich mich gerade nicht verhauen habe (kanns nicht testen), sollte die Darstellung f : [0, 2Pi] -> R² wie folgt aussehen:
    f(phi) = ( 3 ( cos (cos(phi)) + 1 ) , 3 ( cos (sin(phi)) + 1 ) )

    Edit und nächster Versuch 😃
    f(phi) = (3 ( cos (phi) + 1 ) *cos(phi), 3 ( cos (phi) + 1 ) *sin(phi))

    Ok das sagt auch der unter mir. Nee ich hab es vorher nicht gesehen. :p

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  • ?

    Also, die "Umrechnung" in eine parametrierte Form ist simpel:

    x(phi)=r(phi)*cos(phi)
    y(phi)=r(phi)*sin(phi)

    Dann findest Du von der ersten Funktion eine Umkehrfunktion phi(x) und setzt die in die zweite Funktion ein. Und dann wirst Du feststellen, dass das hier für phi aus [0; 2pi) nicht geht.

    Wie ist die ganze Aufgabe?

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  • V

    Das ist schon die ganze Aufgabe: Funktion in
    karthesischen Koordinaten darstellen.

    Parameterdarstellung ist schon mal ein Ansatz, danke.

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  • K

    r = SQRT(x²+y²)
    phi musste dir halt über tangens herleiten, weiß ich gerade net ausm kopf

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  • W

    kingcools schrieb:

    r = SQRT(x²+y²)
    phi musste dir halt über tangens herleiten, weiß ich gerade net ausm kopf

    phi = arctan(y / x)

    EDIT: Aber das ist ja gar nicht gefragt.

    Parametrische Funktion:
    x(phi) = r(phi) * cos(phi) = 3cos(phi)² + 3cos(phi)
    y(phi) = r(phi) * sin(phi) = 3cos(phi)sin(phi) + 3sin(phi)

    3cos(phi)² + 3cos(phi) - x = 0

    cos(phi) = (-3 +- sqrt(9 + 12x))/6 = -0.5 +- sqrt(9 + 12x)/6
    phi = arccos(-0.5 +- sqrt(9+12x)/6)

    Und jetzt müsste man noch das Ganze in die y-Gleichung einsetzen, den Wertebereich entsprechend von 0 bis 1 begrenzen und sich für + oder - entscheiden, um nur einen von beiden Teilen der Kurve zu bekommen, wenn ich mich nicht irre.

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  • V

    Vielen Dank für eure Tipps. Habe es gelöst:

    (x^2 + y^2 -3 x)^2 – 9 (x^2 + y^2) = 0

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