Lipschitz Stetigkeit, Beweis richtig?

[otze]

Hi,

ich schreib morgen Analysis 1 und bin bei einer Altklausur auf eine Aufgabe gestoßen, wo ich mir nicht ganz sicher bin, ob mein Beweis richtig ist:

Aufgabe:

Eine Funktion f(x): R->R heißt Lipschitz-stetig der Ordnung γ, wenn es ein L gibt für das gilt:

|f(x)-f(y)|≤ L|x-y|^γ

für alle x,y aus R.

Sei γ>1, berechnen sie die menge aller f, die Lipschitz-stetig der Ordnung γ sind.

Mein Ansatz:

|f(x)-f(y)|≤ L|x-y|^γ

=>Mittelwertsatz
|f(x)-[f(x)+f'(ζ)(x-y)] | ≤ L|x-y|^γ
=>|f'(ζ)| |x-y| ≤ L|x-y|^γ
=>|f'(ζ)| ≤ L|x-y|^(γ-1)

lasse nun x→y laufen, dann geht |x-y|^(γ-1) gegen 0, da gamma-1 >0
=> |f'(ζ)|≤0
=>Da y beliebig: f'(y)=0 für alle y aus R.
=>f(x)=c für ein c aus R.

Das Ergebnis scheint laut Wikipedia richtig zu sein, aber ist es der Beweis selbst auch? Geht es vielleicht einfacher?

[Gast]

Mittelwertsatz braucht es eigentlich garnicht...

|f(x)-f(y)| ≤ L|x-y|^γ

|f(x)-f(y)| / |x-y| ≤ L|x-y|^(γ-1)

lim ... = |f'(y)| ≤ ...

[Gast]

Woher wissen wir eigentlich, dass f differenzierbar ist?
Lipschitz-stetige Funktionen sind afair "nur" fast überall differenzierbar.

Was ist also mit Treppenfunktionen, die ja fast überall eine Ableitung von 0 haben?

Der Kram ist Jahre her... sorry falls ich daneben liege

[otze]

Arrgh, sowas ähnliches hatte ich auch schon mal stehen. Klar, das ist einfacher...Wald und so.

µ schrieb:

Was ist also mit Treppenfunktionen, die ja fast überall eine Ableitung von 0 haben?

Die sind an der Treppe nicht stetig, da Lipschitz-Stetigkeit besagt, dass die Ableitung kleiner als L sein muss. Und an der Treppe ist die unendlich.

die bessere Frage ist eigentlich: sind stetige Funktionen bei denen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen Lipschitz-stetig? Also Funktionen mit einer Treppenfunktion als Ableitung.

[Gast]

stetigkeit -> treppenfunktion => kopf -> tisch

ich geh' mal schlafen, war eine harte woche

[otze]

Ich habe nochmal drüber nachgedacht. ich glaube pauschal funktionieren unsere beiden Beweise nicht.

Das Problem ist, dass Stetigkeit!= Differenzierbarkeit. Das steckt aber bei uns beiden explizit drin.

Nehmen wir zum Beispiel die Funktion f(x) mit

x<0 => f(x) = 0
x >= 0 => f(x) = x

Sie ist Lipschitz stetig mit L=1, aber am Punkt 0 nicht differenzierbar. Ich bin mir gerade nicht sicher, ob der MWS differenzierbarkeit an allen Punkten im Intervall voraussetzt. Deinen Beweis müsste man glaube ich entweder mit einem Symmetrieargument(linker Grenzwert=rechter Grenzwert) oder mit einem expliziten linksseitigen Limes wiederholen.

Ganz so wichtig ist es jetzt nimmer, die Klausur ist ganz gut gelaufen. Trotzdem ist der Beweis doch hakeliger als ich dachte...

[WebFritzi]

µ schrieb:

Woher wissen wir eigentlich, dass f differenzierbar ist?

Das folgt direkt aus deinem Beweis. Deswegen ist er ja auch richtig.

otze schrieb:

die bessere Frage ist eigentlich: sind stetige Funktionen, bei denen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen Lipschitz-stetig? Also Funktionen mit einer Treppenfunktion als Ableitung.

Du meinst den recht- und linksseitigen Grenzwert der Ableitung, nicht wahr? Dann musst du das auch so schreiben. Eine stetige Funktion, deren linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert (an irgendeiner Stelle) nicht übereinstimmen, gibt es nicht. Ein Beispiel für eine Funktion, wie du sie suchst, wäre die Betragsfunktion (oder auch die von dir im letzten Post genannte).

[zeusosc]

Sorry das ich mal nachhake,

aber was hat zur bitte Lipschitz-Stetigkeit mit Diff'barkeit zu tun?

Die diff'barkeit an der stelle x ist zwar eine folgerung von lim(h->0) |f(x+h)-f(x)|<= L | x+h -x|, D.h. aber defakto noch lange nicht das eine Stufenfunktion nicht Lipschitz stetig ist,..

z.B. die fkt f(x)= 0 Vx<0 ^ f(x)=1 Vx>=0,..

Sei epsilon > 0,..
Dann ist |f( 0 + epsilon ) - f( 0 - epsilon/delta )| = 1 V epsilon ( um 0) mit beliebigen delta >0,.. ==>
1 <= L | epsilon *(1-1/delta)|
==>

| epsilon *(1-1/delta)|^(-1) <= L

hmmm,.. Nehmen wir mal delta=2 dann folgt V epsilon > 0
2/epsilon <= L

Also ich wette ich finde für alle Epsilon ein L,... d.h. wohl das die stufenfunktion Lipschitzstetig ist,... oder?

Seid gegrüßt

[Michael E.]

Warum benutzt du noch ein Delta? Ich versteh deine Rechnung nicht. Der Textsatz macht es nicht gerade einfacher. Reicht dir ein Beweis, dass deine Funktion nicht Lipschitz-stetig ist? Sei $L \geq 0$ Lipschitz-Konstante für f. Dann ist

\begin{align*} |f(-\frac{1}{L + 2}) - f(0)| = 1 > \frac{1}{L+2} = |-\frac{1}{L+2} - 0| \end{align*}