4. Faktorraum

Faktorraum

  • F

    Hallo zusammen,

    ich habe noch ein Probleme mit der Vorstellung des Faktorraums. Dabei handelt es sich um eine Menge aller Äquivalenzklassen mit der Äquivalenzrelation v1∼v2↔v1−v2∈Uv_{1} \sim v_{2} \leftrightarrow v_{1} - v_{2} \in U.

    Dabei ist V ein Vektorraum über dem Körper K und U ein Untervektorraum von V.

    Nun steht bei Wikipedia, dass zu dieser Äquivalenzrelation alle v1,v2v_{1}, v_{2} gehören, die sich um einen Vektor aus U unterscheiden, bzw. wenn die Gerade durch v1,v2v_{1}, v_{2} parallel zu U ist.

    Ich verstehe nicht, warum die Gerade durch v1,v2v_{1}, v_{2} parallel zu U sein muss. Wie kann etwas parallel zu einem Untervektorraum sein? Wie kann ich mir das anschaulich vorstellen?

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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  • K

    Hi freakC++,

    stell dir als Vektorraum den R2\mathbb{R}^2 vor und dann sei ein Untervektorraum eine Gerade darin, sagen wir die erste Winkelhalbierende, d.h. die Menge aller {λ⋅(1,1):λ∈R}\{ \lambda\cdot (1,1) : \lambda\in\mathbb{R} \}.

    Dann sind z.B. die beiden Vektoren (0,1) und (-1,0) äquivalent, weil (-1,0) - (0,1) = (-1,-1) in U liegt, denn (−1,−1)=−1⋅(1,1)λ=−1(-1,-1) = -1 \cdot (1,1)\quad \lambda=-1

    Gruß,
    Klaus.

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  • F

    Hallo Klaus!

    Vielen Dank für dein Beispiel. Die beiden Vektoren sind äquivalent, weil sie auf der Gerade, also der linearen Hülle von U, liegen. Aber ich habe ja gelesen, dass dies gleichbedeutent zur Aussage "die Gerade durch v1 und v2 verläuft parallel zu U" ist.

    Wo sehe ich bei dir diese zweite parellele Gerade? Das ist mir nicht klar 🙂

    Danke!

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  • K

    Hi,

    dann nimm dir ein Blatt Papier, zeichne die erste Winkelhalbierende und eine Gerade durch die beiden Punkte (0,1) und (-1,0). 🙂

    Diese anschauliche Erklärung ist manchmal ein wenig verwirrend, wenn Vektoren abstrakt als Elemente eines Vektorraums beschrieben werden oder wiederum deren 'Zeigerspitzen' als Punkte in einem Koordinatensystem wie in der Schule bekannt.

    Viele Grüße,
    Klaus.

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  • F

    Hallo Klaus,

    jetzt sehe ich es aus auch. Danke 🙂 Ich habe jedoch noch eine andere Frage. Der Faktorraum enthält ja alle Äquivalenzklassen. In einer Äquivalenzklasse befinden sich alle Vektoren, die zu einem bestimmten Vektor äquivalent sind. Dadurch entsteht jetzt eine Gerade.

    Doch wenn nun in dem Faktorraum alle Äquivalenzklassen und daher eigentlich alle parallelen Geraden zum Untervektorraum U da drin sind, ist das Gesamtbild dann nicht eine Ebene?

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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  • K

    Hi freakC++,

    freakC++ schrieb:

    Doch wenn nun in dem Faktorraum alle Äquivalenzklassen und daher eigentlich alle parallelen Geraden zum Untervektorraum U da drin sind, ist das Gesamtbild dann nicht eine Ebene?

    Gute Frage, spontan würde ich dir recht geben. Ich denke bei der strengen mathematischen Interpretation kann ich dir allerdings nicht vollständig weiterhelfen.

    Ich meine laut Wikipedia ist die Definition des Faktorraums gerade
    V/U = \{ [v] : v\in V \} und es gilt gerade wieder [v] = \{v+u : u\in U \}

    D.h. in V/U betrachtest du eine Menge von Äquivalenzklassen [v]. Sicher, diese v sind wieder aus komplett V, deshalb auch deine Frage.

    Und laut Wikipedia ist V/U selbst wieder ein Vektorraum, zumindest wenn man ganz stupide die Eigenschaften nachweist.

    Doch ich denke deine Frage lässt sich ein wenig übersetzen mit "Ist V gleich V/U?". Mathematisch übersetzt wäre für mich das äquivalent zur Frage "Existiert eine bijektive Abbildung zwischen V und V/U?" und das tut es nicht, laut Wikipedia finden wir gerade eine surjektive Abbildung.

    Also um meine Gedanken zusammenzufassen:
    Ich denke anschaulich ist deine Frage berechtigt, doch mathematisch ist es ein wenig wie Äpfel mit Birnen zu vergleichen. 😉

    Viele Grüße,
    Klaus.

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