Injektivität einer linearen Abbildung zeigen

[freakC++]

Hallo zusammen,

ich habe folgende lineare Abbildung:

Phi = \mathbb R³ \rightarrow \mathbb R^4 ;(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \rightarrow (x_{2}, x_{1} + x_{2}, x_{2} + x_{3}, x_{3})^T

Nun möchte ich zeigen, dass sie injektiv ist. Die Abbildung ist genau dann injektiv wenn jedes Element der Zielmenge höchstens einmal zum Bild wird.

Meine Vorgehensweise: Wenn es zwei konkrete Abbildungen mit demselben Bild gibt, müssen die Argumente gleich sein. Also:

$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{1} + x_{2} \\ x_{2} + x_{3} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{1} + y_{2} \\ y_{2} + y_{3} \\ y_{3} \end{pmatrix}$

Hier sieht man deutlich, dass diese Gleichung nur erfüllt ist, wenn x1 = y1, x2 = y2, x3 = y3 ist.

Habe ich damit schon die Injektivität gezeigt?

Vielen Dank
LG, freakC++

[Bashar]

Ja, eigentlich schon.

Für Beweiszwecke ist diese Variante der Injektivitätsdefinition besser geeignet: f ist injektiv genau dann, wenn aus f(x) = f(y) folgt x = y.

Dann kannst du nämlich direkt so anfangen: Sei $x,y\in\mathbb{R}^3$ mit $\Phi(x)=\Phi(y)$, dann haben wir
$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{1} + x_{2} \\ x_{2} + x_{3} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{1} + y_{2} \\ y_{2} + y_{3} \\ y_{3} \end{pmatrix}$ , und man erkennt unmittelbar $x\_1 = y\_1$, $x\_3 = y\_3$ und dann auch $x\_2 = y\_2$, also $x=y$. Daraus folgt, dass $\Phi$ injektiv ist.

[Jester]

Wobei man bei linearen abbildungen auch direkt den kern anschauen könnte.

[freakC++]

Jester schrieb:

Wobei man bei linearen abbildungen auch direkt den kern anschauen könnte.

Stimmt, der Kern darf nur das Nullelement enthalten. Andernfalls würden mindestens zwei Element auf das Nullelement des Zielvektorraums abgebildet und dies widerspräche der Injektivität. Dazu habe ich jedoch noch eine Frage:

Die Surjektivität einer linearen Abbildung bestimme ich, indem ich überprüfe, ob der Rang gleich der Anzahl der Spalten und Zeilen ist.

1.) Impliziert dies nicht, dass die Abbildungsmatrix quadratisch sein muss. Ich dachte aber, dass eine quadratiche Abbildunsmatrix auch bijektiv ist. Aber nicht jede surjektive Abbildung ist bijektiv.

2.) Wenn der Rang nicht gleich der Anzahl der Spalten / Zeilen der Abbildungsmatrix ist, bedeutet dies, dass es eine Lineare Abbhängigkeit gibt. Dies wiederum impliziert, dass der Kern mindestens zwei Elemente haben muss und damit wäre die Abbildung auch nicht injektiv. Nicht jede nicht surjektive Abbildung ist aber nicht gleichzeitig auch nicht injektiv.

Was mache ich da falsch?

Vielen Dank
lg, freakC++

[Jester]

freakC++ schrieb:

Jester schrieb:

Wobei man bei linearen abbildungen auch direkt den kern anschauen könnte.

Stimmt, der Kern darf nur das Nullelement enthalten. Andernfalls würden mindestens zwei Element auf das Nullelement des Zielvektorraums abgebildet und dies widerspräche der Injektivität. Dazu habe ich jedoch noch eine Frage:

Die Surjektivität einer linearen Abbildung bestimme ich, indem ich überprüfe, ob der Rang gleich der Anzahl der Spalten und Zeilen ist.

nein, ob er gleich der Anzahl der Spalten ist. Wenn er gleich der Anzahl der Zeilen ist, dann isses injektiv. Wenn es beides gleichzeitig ist, dann ist es injektiv und surjektiv und die Matrix muß wegen Zeilenrang=Spaltenrang auch quadratisch sein. Für eine quadratische Matrix gilt deswegen auch, dass die zugehörige Abbildung injektiv ist genau dann wenn sie surjektiv ist. Für nicht-quadratische Abbildungsmatrizen ist das aber was unterschiedliches.

[Klaus82]

Hi,

freakC++ schrieb:

Die Surjektivität einer linearen Abbildung bestimme ich, indem ich überprüfe, ob der Rang gleich der Anzahl der Spalten und Zeilen ist.

Wie würde denn die darstellende Matrix zu deiner obigen Abbildung aussehen?

Gruß,
Klaus.

[freakC++]

Alles klar :). Vielen Dank!