eine allzu banale Konvergenzfrage

otze

Die Folge ist mit vielen Mitteln recht einfach zu zeigen. So wie du das gerade machst, wird das nichts. Du hast gerade für ein Epsilon gezeigt, dass 1/n kleiner als epsilon wird. Ich könnte mich jetzt aber hinstellen und sagen: "das gilt aber nicht für epsilon = 0.001". Und dann wirst du das für das kleinere Epsilon zeigen und ich werde mein epsilon wieder anpassen usw. Was du machen musst ist das für alle Epsilon zu zeigen.

Das heißt dein Beweis muss formal mit etwas beginnen wie:
Sei epsilon > 0 beliebig.

dann ist mit n>=... die Funktion 1/n kleiner als Epsilon.

Hübsch ist zum Beispiel auch der Ansatz, dass du zeigst, dass 1/n niemals kleiner 0 wird und dann zeigst, dass 1/n > 1/(n+1).

otze schrieb:

Hübsch ist zum Beispiel auch der Ansatz, dass du zeigst, dass 1/n niemals kleiner 0 wird und dann zeigst, dass 1/n > 1/(n+1).

a(n) > 0 und a(n) > a(n+1) führt noch nicht zur Konvergenz gegen 0.

Jester

Ja, aber man kann damit Konvergenz zeigen, ohne den echten Grenzwert zu kennen.

freakC++

otze schrieb:

Die Folge ist mit vielen Mitteln recht einfach zu zeigen. So wie du das gerade machst, wird das nichts. Du hast gerade für ein Epsilon gezeigt, dass 1/n kleiner als epsilon wird. Ich könnte mich jetzt aber hinstellen und sagen: "das gilt aber nicht für epsilon = 0.001". Und dann wirst du das für das kleinere Epsilon zeigen und ich werde mein epsilon wieder anpassen usw. Was du machen musst ist das für alle Epsilon zu zeigen.

Genau das war ja mein Problem. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das ein vollständiger Beweis ist.

Ich versuche es also noch einmal. Einmal kenne ich den Grenzwert und einmal nicht:

1.) Sei $\epsilon$ eine hinreichend kleine Zahl größer 0. Der Grenzwert der Folge ist 0. Dann muss wegen Konvergenz gelten:

$|a_{n} - 0| < \epsilon$
$|\frac{1}{n}| < \epsilon$

Sei $n_{0} \in \mathbb N$ . Dann gilt für alle $n \geq n_{0}: n > \frac{1}{\epsilon}$ . Dieser Ausdruck kann niemals kleiner 0 werden.

Tja, ich setze voraus, dass 1/epsilon nie kleiner 0 werden kann. Aber eigentlich kann ich das doch nicht. Wie soll ich aber sonst nur mit dem Konvergenzkriterium für Folgen die KOnvergenz zeigen?

Vielen Dank
LG, freakC++

Ich setze voraus, dass 1/epsilon nie kleiner 0 werden kann. Aber eigentlich kann ich das doch nicht.

Du setzt nur voraus, daε > 0, und daraus folgerst du 1/ε > 0.

freakC++

Also darf ich vorraussetzen, dass 1 geteilt durch irgendwas positives immer größer 0 ist?

LG, freakC++

Naja. Sei x > 0, 1/x < 0 => 1 < 0.

Jockelx

freakC++ schrieb:

1.) Sei $\epsilon$ eine hinreichend kleine Zahl größer 0.

Hinreichend klein wofür?
Der Beweis sollte anfangen mit
Sei $\epsilon$ > 0 beliebig, aber fest...

freakC++

Gut! Angenommen, ich fange so meinen Beweis an. Dann werde ich aber wieder an die Stelle kommen, an der ich dann vorraussetzen muss, dass die Zahl nicht kleiner also 0 werden kann (1 / epsilon).

LG, freakC++

Jockelx

Ist das noch nicht geklärt, dass 1/eps nicht kleiner 0 werden kann, wenn eps > 0 ist?

freakC++

Das weiß ich ja gerade nicht

Wenn das klar wäre, dann wäre der Beweis nämlich hier beendet, oder?

Jockelx

Das ist aber doch offensichtlich. woaukib hat es dir bewiesen.
Du kannst es dir aus so klar machen:

eps * (1/eps) = 1

Ist eps > 0 so folgt aus dem aus der Grundschule bekannten "Plus mal Minus = Minus", dass (1/eps) nicht "Minus" sein kann, da eps und "1" offenbar "Plus" sind.

Dein Beweis meint das richtige, ist aber falsch aufgeschrieben:

"Sei $n_{0} \in \mathbb N$ . Dann gilt für alle $n \geq n_{0}: n > \frac{1}{\epsilon}$ ."

Das gilt ja nicht für ein beliebiges $n_{0}$ , sondern das hängt ja gerade vom gewählten eps ab.
Das es immer ein $n_{0} > 1/{\epsilon}$ gibt, ist durch den ganz am Anfang erwähnten Archimedes gesichert.

Bashar

Jockelx schrieb:

Ist eps > 0 so folgt aus dem aus der Grundschule bekannten "Plus mal Minus = Minus", dass (1/eps) nicht "Minus" sein kann, da eps und "1" offenbar "Plus" sind.

Wenn man das richtig beweisen will, muss man natürlich richtig tief beim Urschleim, irgendwo in der Gegend von „Die reellen Zahlen sind ein total geordneter Körper”, anfangen. Das hat man aber typischerweise lange hinter sich, wenn man sich über Konvergenz den Kopf zerbricht. Deshalb: 1/ε > 0 bedarf an der Stelle keines Beweises.

Aber es ist doch immerhin etwas, dass sich freakC++ nicht blind auf solche "Selbstverständlichkeiten" verlässt (denn gerade das täuscht einen oft genug)