Lineare Abhängikeit Vektoren (und ähnliches)

Guten Abend Forum,

ich bin gerade hier ein bisschen an (Schul)Mathematik-Aufgaben am Arbeiten, und mir stellt sich folgende Frage : Zur Überprüfung von linearer Abhängigkeit von zB 3 Vekotren gibt es ja mehrere Möglichkeit, ich persönlich benutzt immer die Determinante. Aber mal eine Frage, die sich mir so am Rande stellt ... reicht es eigentlich nicht, wenn ich Vektor a, b unc c habe, sich a als beispielsweise 2*b darstellen lässt?

Generell gilt ja : Wenn ich für diese Gleichung eine Lösung finde, ist a linear abhänig von b und c ( und dadurch auch automatisch die beiden anderen, oder nicht ? ) : a = A*b + B*c. Nun, beispielweise a = (1/2/3) und b = (2/4/6), könnte ich doch einfach schreiben : b = 2*a + 0*c . Super, jetzt hab ich eine Linearkombination und die drei Vektoren sind voneinander abhänig ?!

Ich hoffe die Frage ist klar ;P

P.S : "Und ähnliches" im Titel weil ich wohl im Verlufe des Abends noch ein paar Fragen zum Thema Ebenen und Geraden im Raum haben werde und nicht jedes mal einen Thread öffnen will.

Mfg und danke schonmal !

Wenn ich mal eine These dazu aufstellen darf : Was ich geschrieben habe ist nicht legitim, weil man die Gleichung nicht nach dem Vektor c auflösen könnte ? Fällt ja eigentlich raus, oder eben teilen durch 0 -> illegal. Geht es deswegen nicht ?

icarus2

Ja, wenn du zeigen moechtest, dass drei Vektoren linear abhaengig sind reicht es zu zeigen, dass a = A*b + B*c gilt, d.h. a ist eine Linearkombination von b unc c. Natuerlich ist b dann auch eien Linearkombination von a und c, da gilt b = 1/B*a - A/B*c

Generell dazugesagt gilt aber dann, dass A und B in der Gleichung nicht 0 sein dürfen ?

icarus2

Frage!! schrieb:

Generell dazugesagt gilt aber dann, dass A und B in der Gleichung nicht 0 sein dürfen ?

Wenn A bzw. B 0 ist, dann faellt A*b bzw. B*c onehin weg, das heisst wenn A = 0 gilt, dann hat man nur noch a = B*c.

cooky451

A und auch B dürfen 0 sein, der Nullvektor (0, 0, 0, ...) ist zu allen Vektoren linear abhängig.
Beispiel für drei nicht linear abhängige* Vektoren: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

* Sogar völlig unabhängige, kein Vektor ist hier durch einen anderen darstellbar.

Verstehe ich dann nicht. Wenn A und B 0 sein dürfen, kann mir doch völlig egal sein wie der 3. Vektor aussieht, sofern sich der Vektor a so darstellen lässt a = C*b, wobei C element R ist. Hab ich also Vektor (1/2/3) und (2/4/6) und (v1/v2/v3) sag ich einfach, ohne Determinate auszurechnen oder sonst was : Ja die sind linear abhängig, denn (1/2/3)*2 = (2/4/6) . Ohne überhaupt v1,v2 und v3 zu kennen ?!

icarus2

Frage!! schrieb:

Verstehe ich dann nicht. Wenn A und B 0 sein dürfen, kann mir doch völlig egal sein wie der 3. Vektor aussieht, sofern sich der Vektor a so darstellen lässt a = C*b, wobei C element R ist. Hab ich also Vektor (1/2/3) und (2/4/6) und (v1/v2/v3) sag ich einfach, ohne Determinate auszurechnen oder sonst was : Ja die sind linear abhängig, denn (1/2/3)*2 = (2/4/6) . Ohne überhaupt v1,v2 und v3 zu kennen ?!

Ja. Du musst eifach zeigen, dass ein Vektor eine Linearkombinatin der anderen Vektoren ist. Also Faktor in der Linearkombination ist auch 0 erlaubt.

lustig

Die 3 Vektoren sind ja dann auch nicht unabhängig. Bei deinem Beispiel ist auch die Determinante 0. Egal was v1,v2 und v3 sind.
Edit: zu langsam...

cooky451 schrieb:

* Sogar völlig unabhängige, kein Vektor ist hier durch einen anderen darstellbar.

Entweder eine Familie von Vektoren ist linear unabhängig oder sie ist es nicht. Da gibt's nichts dazwischen.

Wieso sollte ich dann jemals die Deterimante ausrechnen ? Da schau ich mir doch lieber die Vektoren an und kann in einem Blick sagen, ob einer davon das Vielfache eines anderen ist. Klar, bei unangenehmeren Zahlen wird das wohl etwas schwerer, aber die Determinate wäre ebenso hässlich, wenn nicht hässlicher. Aber bei den Beispielen in der Schule sind die Zahlen eig. immer einfach gewählt.

Nochmal die Behauptung, die klingt für mich so unglaublich : Wenn ich 3000 Vektoren habe, und ein einziger das Vielfache von einem einzigen anderen ist, sind automatisch alle 3000 Vektoren voneinander abhängig, obwohl ich eigentlich nur 2 von 3000 betrachtet habe ? Krass.

Jain. Genaugenommen betrachtest du sehr wohl alle. Der Punkt ist der folgende (der auch der Grund ist, warum der *-Zusatz in cookys Post keinen Sinn macht):
Angenommen, wir haben eine Familie von Vektoren (v₁,...,v_n) (dabei kann n ruhig 3000 sein), sodass es i,j mit 1 <= i < j <= n (o.B.d.A.) gibt, mit v_i = c * v_j.
Dann ist eine nichttriviale Linearkombination (d.h. nicht alle Koeffizienten sind 0) die 0 ist, ist gegeben durch:

0v₁ + ... + 0v_i-1 + v_i + 0v_i+1 + ... + 0v_j-1 + (-c) * v_j + 0v_j+1 + ... + 0v_n = 0,
und damit sind die Vektoren linear abhängig.

Wohlgemerkt ist aber der Fall, dass mehr als 3 Vektoren im R³ linear unabhängig sind schlichtweg unmöglich. Für 2999 linear unabhängige Vektoren müsstest du dich schon im Rⁿ, n >= 2999 bewegen.

Zusatz: c != 0.

cooky451

JFB schrieb:

cooky451 schrieb:

* Sogar völlig unabhängige, kein Vektor ist hier durch einen anderen darstellbar.

Entweder eine Familie von Vektoren ist linear unabhängig oder sie ist es nicht. Da gibt's nichts dazwischen.

Ich wollte damit keine neue Familie einführen, sondern nur deutlich sagen, dass hier sogar a von b und b von c unabhängig sind.

@Frage!!
Ja. Wie JFB schon gesagt hat, kann es maximal n linear unabhängige Vektoren im n dimensionalen Raum geben. Und ja, bei zwei Vektoren kannst du denen meistens ansehen, ob sie linear abhängig sind. Bei 3 Vektoren wird das schwieriger. (Je nach dem. Manchmal ist es auch da offensichtlich, insbesondere wenn einzelne Elemente 0 sind.)

Hmm. Bei 3 wirds schwerer ? Okay, aber nur wenn nicht wirklich wieder einer der 3 Vektoren ein Vielfaches eines anderen ist? Weil dann könnte man es wieder auf den 1. Blick sagen.

Die Vektoren in einer Familie bestehend aus allen möglichen Vektoren - eine unendlich Menge - wären also auch alle linear abhängig ?

Naja, ich glaub langsam machts kein Sinn mehr drüber nachzudenken ;P Danke auf jeden Fall schonmal an Euch !

icarus2

Frage!! schrieb:

Hmm. Bei 3 wirds schwerer ? Okay, aber nur wenn nicht wirklich wieder einer der 3 Vektoren ein Vielfaches eines anderen ist? Weil dann könnte man es wieder auf den 1. Blick sagen.

Man kann sehr einfach Beispile mit haesslichen Zahlen finden, bei dem man es kaum mehr auf den ersten Blick sehen kann. Zum Beispiel wenn A und B irgendwelche komischen Brueche sind. Da ist man dann froh, dass es die Determinante gibt

Wenn man das ganze ( mit hässlichen Zahlen ) dann auch noch miteinander multipliziert und die Produkte addieren und subtrahieren ( Hauptnenner ermitteln, folglich weitere Produkte ) muss, dann wird es wohl kaum angenehmer werden, oder ?

Naja, irgendwie musst du's halt ausrechnen. Im Zweifelsfall einfach jeden Vektor mit dem größten Nenner, der in seinen Komponenten durchführt, durchmultiplizieren und dann wie gewohnt weiterrechnen.

@cooky451: Das "sogar" kannst du dir sogar sparen Versuch mal ein Beispiel für Vektoren a,b,c, sodass (a,b,c) linear unabhängig, aber (a,b) oder (b,c) linear abhängig sind zu finden.