4. Polardarstellung

Polardarstellung

  • F

    Hallo ihr alle 🙂

    Seid mir nicht böse, falls diese Frage wahrscheinlich eine allzu offensichtliche Antwort hat, aber ich sehe sie einfach nicht.

    Kann mir jemand sagen, warum die komplexe Zahl eiαe^{i\alpha} immer die Länge 1 hat?

    Danke 😃
    LG, freakC++

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  • eiα=cos(α)+isin(α)e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i \sin(\alpha)

    und damit

    ∣eiα∣=cos(α)2+sin(α)2=1|e^{i\alpha}| = \sqrt{\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2} = 1

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  • F

    Hallo dot,

    vielen Dank für deine Antwort, die mir natürlich einleuchtet. Ich habe noch ein anderes Problem. Ich möchte gerne die folgende Beziehung zeigen:

    sin(x+yi)=sin(x)cosh(y)+icos(x)sinh(y)sin(x+yi) = sin(x)cosh(y) + icos(x)sinh(y)

    Dazu weiß ich, dass folgendes gilt: sin(z)=12i⋅(eiz−e−iz)sin(z) = \frac{1}{2i} \cdot (e^{iz} - e^{-iz})

    Nun habe ich schon einiges gerechnet, aber auf die obige Gleichung komme ich nicht. Könnt ihr mal nachsehen und mir einen Tipp geben?

    sin(x+iy)=12i(ei(x+iy)−e−i(x+iy))sin(x + iy) = \frac{1}{2i}(e^{i(x+iy)} - e^{-i(x+iy)})
    =12i(cos(z)+sin(z)−e−i(x+iy))= \frac{1}{2i}(cos(z) + sin(z) - e^{-i(x+iy)})
    =12i(cos(z)+sin(z)−e−ix+ey)= \frac{1}{2i}(cos(z) + sin(z) - e^{-ix} + e^y)

    und nun? Ich bitte um Rat 🙂

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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  • Du kannst eiye^{iy} herausheben 😉

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  • F

    dot schrieb:

    Du kannst eiye^{iy} herausheben 😉

    Was genau meinst Du mit herausheben? Ich bin das ganze noch einmal ganz anders drangeganegn und es fliegt eye^y heraus, aber nicht eiye^{iy}.

    sin(z)=sin(x+yi)=12i(ei(x+yi)−e−i(x+yi)sin(z) = sin(x+yi) = \frac{1}{2i}(e^{i(x+yi)} - e^{-i(x+yi)}
    =12i(eix+e−y−e−ix+ey)= \frac{1}{2i}(e^{ix} + e^{-y} - e^{-ix} + e^y)
    =12i(eix+e−ix)= \frac{1}{2i}(e^{ix} + e^{-ix})

    Aber wie kann dieser Ausdruck bitte sin(x)cosh(y) + icos(x)sinh(y) sein? Mein y ist doch jetzt weg!

    Vielen Dank

    edit: Wartet :D. Ich habe einen Fehler gemacht, denn e^y + e^-y ergibt 1 und nicht 0. Vielleicht lässt sich dann da was mit dem Pythagoras machen...

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  • F

    Hallo zusammen,

    ich habe es herausbekommen. Der Pythagoras hilft hier nicht weiter. Es müssen nur stupide die bereits bekannten Additionstheoreme angewendet werden. Dabei kommen Ausdrücke wie sin(yi) bzw. cos(yi) raus, die wiederum die hyperbolischen Funktionen darstellen.

    Fertig 🙂

    Danke
    LG, freakC++

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  • Sry, das mit dem Herausheben war Schwachsinn, da hab ich mich verschaut.
    Ein wesentlicher Fehler den du da oben immer gemacht hast ist, dass ex+ye^{x+y} nicht gleich ex+eye^x + e^y ist, sondern exeye^x e^y und ey+e−ye^y + e^{-y} ergibt weder 1 noch 0...

    Wenn du nur beweisen sollst dass die Beziehung gilt, dann kannst du auch einfach die entsprechenden Identitäten

    \begin{align} \sin(x) &= \frac{1}{2i} \cdot (e^{ix} - e^{-ix}) \\ \cos(x) &= \frac{1}{2} \cdot (e^{ix} + e^{-ix}) \\ \sinh(x) &= \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{-x}) \\ \cosh(x) &= \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{-x}) \end{align}

    einsetzen, ausmultiplizieren und fertig:

    \begin{align} \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y) &= \frac{1}{2i} \cdot (e^{ix} - e^{-ix}) \frac{1}{2} \cdot (e^{y} + e^{-y}) + i \frac{1}{2} \cdot (e^{ix} + e^{-ix}) \frac{1}{2} \cdot (e^{y} - e^{-y}) \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{2i} ((e^{ix} - e^{-ix})(e^{y} + e^{-y}) - (e^{ix} + e^{-ix})(e^{y} - e^{-y})) = \ldots = \sin(x + i y) \end{align}
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  • K

    bereits bekannten Additionstheoreme angewendet werden

    Nein, einfach in die Darstellung mit e wechseln. Additionstheoreme muessen ja auch irgendwie bewiesen werden. Ich fuer meinen Teil fand es in Klausuren so einfacher als staendig mit den Additionstheoremen durcheinanderzukommen.

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