4. Eigenvektor finden bei Nullzeile

Eigenvektor finden bei Nullzeile

  • F

    Hallo,

    die Matrix A=(3113)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} hat die Eigenwerte 2 und 4. Nun möchte ich die dazugehörigen Eigenvektoren errechnen.

    (A−2I)x=0=(1111∣00)(A - 2I)x = 0 = \left( \begin{matrix} 1&1\\ 1&1 \end{matrix} \left| \begin{matrix}0\\ 0 \end{matrix} \right) \right.

    Umformen nach Gauß:

    (1100∣00)\left( \begin{matrix} 1&1\\ 0&0 \end{matrix} \left| \begin{matrix}0\\ 0 \end{matrix} \right) \right.

    Da ensteht eine Nullzeile. Jetzt bin ich mir nicht sicher. Wenn eine Nullzeile entsteht, darf ich eine Variable frei wählen oder? Darf ich also beispielsweise x = 1 setzen und dann y berechnen? Ist das richtig oder täuschen mich meine Erinnerungen.

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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  • J

    Ja, du kannst einen Repräsentanten wählen und berechnest damit einen Eigenvektor (von unendlich vielen), der den Eigenraum aufspannt. (Z.B. <(1,-1)>).

    0
  • ?

    Das Gleichungssystem muss beliebig viele Lösungen haben, denn ein bliebiges Vielfaches eines Eigenvektors ist wieder Eigenvektor. Allgemeiner: Jede Linearkombination von Eigenvektoren zum selben Eigenwert ergibt wieder einen Eigenvektor zum entsprechenden Eigenwert. Dabei wird der Nullvektor normalerweise als Eigenvektor ausgeschlossen.

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  • J

    Ohha, da kommen böse Erinnerungen hoch!

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  • F

    Hallo,

    vielen Dank für eure Hilfe. Ich schließe also daraus, dass in meinem Fall alle Eigenvektoren auf einer Ursprungsgerade liegen.

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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